Аналитическое задание функции
Функция %%y = f(x), x \in X%% задана явным аналитическим способом , если дана формула, указывающая последовательность математических действий, которые надо выполнить с аргументом %%x%%, чтобы получить значение %%f(x)%% этой функции.
Пример
- %% y = 2 x^2 + 3x + 5, x \in \mathbb{R}%%;
- %% y = \frac{1}{x - 5}, x \neq 5%%;
- %% y = \sqrt{x}, x \geq 0%%.
Так, например, в физике при равноускоренном прямолинейном движении скорость тела определяется формулой %%v = v_0 + a t%%, а формула для перемещения %%s%% тела при равномерно ускоренном движении на промежутке времени от %%0%% до %%t%% записывается в виде: %% s = s_0 + v_0 t + \frac{a t^2}{2} %%.
Кусочно-заданные функции
Иногда рассматриваемая функция может быть задана несколькими формулами, действующими на различных участках области ее определения, в которой изменяется аргумент функции. Например: $$ y = \begin{cases} x ^ 2,~ если~x < 0, \\ \sqrt{x},~ если~x \geq 0. \end{cases} $$
Функции такого вида иногда называют составными или кусочно-заданными . Примером такой функции является %%y = |x|%%
Область определения функции
Если функция задана явным аналитическим способом с помощью формулы, но область определения функции в виде множества %%D%% не указана, то под %%D%% будем всегда подразумевать множество значений аргумента %%x%%, при которых данная формула имеет смысл. Так для функции %%y = x^2%% областью определения служит множество %%D = \mathbb{R} = (-\infty, +\infty)%%, поскольку аргумент %%x%% может принимать любые значения на числовой прямой . А для функции %%y = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}%% областью определения будет множество значений %%x%% удовлетворяющих неравенству %%1 - x^2 > 0%%, т.е. %%D = (-1, 1)%%.
Преимущества явного аналитического задания функции
Отметим, что явный аналитический способ задания функции достаточно компактен (формула, как правило, занимает немного места), легко воспроизводим (формулу нетрудно записать) и наиболее приспособлен к выполнению над функциями математических действий и преобразований.
Некоторые из этих действий - алгебраические (сложение, умножение и др.) - хорошо известны из школьного курса математики, другие (дифференцирование, интегрирование) будем изучать в дальнейшем. Однако этот способ не всегда нагляден, так как не всегда четок характер зависимости функции от аргумента, а для нахождения значений функции (если они необходимы) требуются иногда громоздкие вычисления.
Неявное задание функции
Функция %%y = f(x)%% задана неявным аналитическим способом , если дано соотношение $$F(x,y) = 0, ~~~~~~~~~~(1)$$ связывающее значения функции %%y%% и аргумента %%x%%. Если задавать значения аргумента, то для нахождения значения %%y%%, соответствующего конкретному значению %%x%%, необходимо решить уравнение %%(1)%% относительно %%y%% при этом конкретном значении %%x%%.
При заданном значении %%x%% уравнение %%(1)%% может не иметь решения или иметь более одного решения. В первом случае заданное значение %%x%% не принадлежит области определения неявно заданной функции, а во втором случае задает многозначную функцию , имеющую при данном значении аргумента более одного значения.
Отметим, что если уравнение %%(1)%% удается явно разрешить относительно %%y = f(x)%%, то получаем ту же функцию, но уже заданную явным аналитическим способом. Так, уравнение %%x + y^5 - 1 = 0%%
и равенство %%y = \sqrt{1 - x}%% определяют одну и ту же функцию.
Параметрическое задание функции
Когда зависимость %%y%% от %%x%% не задана непосредственно, а вместо этого даны зависимости обоих переменных %%x%% и %%y%% от некоторой третьей вспомогательной переменной %%t%% в виде
$$ \begin{cases} x = \varphi(t),\\ y = \psi(t), \end{cases} ~~~t \in T \subseteq \mathbb{R}, ~~~~~~~~~~(2) $$то говорят о параметрическом способе задания функции;
тогда вспомогательную переменную %%t%% называют параметром.
Если из уравнений %%(2)%% удается исключить параметр %%t%%, то приходят к функции, заданной явной или неявной аналитической зависимостью %%y%% от %%x%%. Например, из соотношений $$ \begin{cases} x = 2 t + 5, \\ y = 4 t + 12, \end{cases}, ~~~t \in \mathbb{R}, $$ исключением параметра %%t%% получим зависимость %%y = 2 x + 2%%, которая задает в плоскости %%xOy%% прямую.
Графический способ
Пример графического задания функции
Приведенные выше примеры показывают, что аналитическому способу задания функции соответствует ее графическое изображение , которое можно рассматривать как удобную и наглядную форму описания функции. Иногда используют графический способ задания функции, когда зависимость %%y%% от %%x%% задают линией на плоскости %%xOy%%. Однако при всей наглядности он проигрывает в точности, поскольку значения аргумента и соответствующие им значения функции можно получить из графика лишь приближенно. Возникающая при этом погрешность зависит от масштаба и точности измерения абсциссы и ординаты отдельных точек графика. В дальнейшем графику функции отведем роль только иллюстрации поведения функции и поэтому будем ограничиваться построением «эскизов» графиков, отражающих основные особенности функций.
Табличный способ
Отметим табличный способ задания функции, когда некоторые значения аргумента и соответствующие им значения функции в определенном порядке размещаются в таблице. Так построены известные таблицы тригонометрических функций, таблицы логарифмов и т.п. В виде таблицы обычно представляют зависимость между величинами, измеряемыми при экспериментальных исследованиях, наблюдениях, испытаниях.
Недостаток этого способа состоит в невозможности непосредственного определения значений функции для значений аргумента, не входящих в таблицу. Если есть уверенность, что непредставленные в таблице значения аргумента принадлежат области определения рассматриваемой функции, то соответствующие им значения функции могут быть вычислены приближенно при помощи интерполяции и экстраполяции.
Пример
| x | 3 | 5.1 | 10 | 12.5 |
| y | 9 | 23 | 80 | 110 |
Алгоритмический и словесный способы задания функций
Функцию можно задать алгоритмическим (или программным ) способом, который широко используют при вычислениях на ЭВМ.
Наконец, можно отметить описательный (или словесный ) способ задания функции, когда правило соответствия значений функции значениям аргумента выражено словами.
Например, функцию %%[x] = m~\forall {x \in }
