Решение.
Вероятность того, что не выпало ни одного герба: P(0) = 0,5*0,5*0,5= 0,125
P(1) = 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 + 0,5*0,5*0,5 = 3*0,125=0,375
P(2) = 0,5 *0,5 *0,5 + 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 = 3*0,125=0,375
Вероятность того, что выпало три герба: P(3) = 0,5*0,5*0,5 = 0,125
Закон распределения случайной величины X:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | 0,125 | 0,375 | 0,375 | 0,125 |
Пример №2
. Вероятность попадания в мишень одного стрелка при одном выстреле для первого стрелка равна 0.8, для второго стрелка – 0.85. Стрелки произвели по одному выстрелу в мишень. Считая попадание в цель для отдельных стрелков событиями независимыми, найти вероятность события А – ровно одно попадание в цель.
Решение.
Рассмотрим событие A - одно попадание в цель. Возможные варианты наступления этого события следующие:
- Попал первый стрелок, второй стрелок промахнулся: P(A/H1)=p 1 *(1-p 2)=0.8*(1-0.85)=0.12
- Первый стрелок промахнулся, второй стрелок попал в мишень: P(A/H2)=(1-p 1)*p 2 =(1-0.8)*0.85=0.17
- Первый и второй стрелки независимо друг от друга попали в мишень: P(A/H1H2)=p 1 *p 2 =0.8*0.85=0.68
Определение 2.3. Случайная величина, обозначаемая X, называется дискретной, если она принимает конечное либо счетное множество значений, т.е. множество – конечное либо счетное множество.
Рассмотрим примеры дискретных случайных величин.
1.
Однократно бросают две монеты. Число выпадений гербов в этом эксперименте – случайная величина Х
. Ее возможные значения 0,1,2, т. е. 
– конечное множество.
2. Регистрируется число вызовов "Скорой помощи" в течение некоторого заданного промежутка времени. Случайная величина Х – число вызовов. Ее возможные значения 0, 1, 2, 3, ...,т.е. ={0,1,2,3,...}– счетное множество.
3. В группе 25 студентов. В какой-то день регистрируется число студентов, пришедших на занятия, – случайная величина Х . Ее возможные значения: 0, 1, 2, 3, ...,25 т.е. ={0, 1, 2, 3, ..., 25}.
Хотя все 25 человек в примере 3 пропустить занятия не могут, но случайная величина Х принимать это значение может. Это означает, что значения случайной величины обладают различной вероятностью.
Рассмотрим математическую модель дискретной случайной величины.
Пусть проводится случайный эксперимент, которому соответствует конечное или счетное пространство элементарных событий . Рассмотрим отображение этого пространства на множество действительных чисел, т. е. каждому элементарному событию поставим в соответствие некоторое действительное число , . Множество чисел при этом может быть конечным или счетным, т. е. 
или
Система подмножеств, в которую входит любое подмножество , в том числе одноточечное, образует -алгебру числового множества ( – конечно или счетно).
Поскольку любому элементарному событию поставлены в соответствие определенные вероятности р i (в случае конечного все ), причем , то и каждому значению случайной величины можем поставить в соответствие определенную вероятность р i , такую, что .
Пусть х
– произвольное действительное число. Обозначим Р Х (х)
вероятность того, что случайная величина Х
приняла значение, равное х
, т.е. Р Х (х)=Р(Х=х)
. Тогда функция Р Х (х)
может принимать положительные значения лишь при тех значениях х
, которые принадлежат конечному либо счетному множеству 
, а при всех остальных значениях вероятность этого значения Р Х (х)=0.
Итак, мы определили множество значений , -алгебру как систему любых подмножеств и каждому событию {X = х } сопоставили вероятность дпя любых , т.е. построили вероятностное пространство .
Например, пространство элементарных событий эксперимента, состоящего в двукратном подбрасывании симметричной монеты, состоит из четырех элементарных событий: , где
При двукратном подбрасывании монеты выпали две решетки ; при двукратном подбрасывании монеты выпали два герба ;
При первом подбрасывании монеты выпала решетка, а при втором – герб ;
При первом подбрасывании монеты выпал герб, а при втором – решетка .
Пусть случайная величина Х
– число выпадений решетки. Она определена на и множество ее значений 
. Все возможные подмножества , в том числе и одноточечные, образуют - алгебру, т.е. ={Ø, {1}, {2}, {0,1}, {0,2}, {1,2}, {0,1,2}}.
Вероятность события {Х=х i }, і = 1,2,3 , определим как вероятность появления события, являющегося его прообразом:
Таким образом, на элементарных событиях {X = х i
} задали числовую функцию Р Х
, так, что 
.
Определение 2.4. Законом распределения дискретной случайной величины называется совокупность пар чисел (х i , р i), где х i – возможные значения случайной величины, а р i – вероятности, с которыми она принимает эти значения, причем .
Простейшей формой задания закона распределения дискретной случайной величины является таблица, в которой перечислены возможные значения случайной величины и соответствующиеим вероятности:
| … | … | ||||
| … | … |
Такая таблица называется рядом распределения. Чтобы придать ряду распределения более наглядный вид, его изображают графически: на оси Ох наносят точки х i и проводят из них перпендикуляры длиной р i . Полученные точки соединяют и получают многоугольник, который является однойиз форм закона распределения (рис. 2.1).
Таким образом, для задания дискретной случайной величины нужно задать ее значения и соответствующиеим вероятности.
Пример 2.2. Денежный приемник автомата срабатывает при каждом опускании монеты с вероятностью р . Как только он сработал, монеты не опускают. Пусть Х – число монет, которые надо опустить до срабатывания денежного приемника автомата. Построить ряд распределения дискретной случайной величины Х .
Решение.
Возможные значения случайной величины Х
: х 1 = 1, х 2 = 2,..., х к =к, …
Найдем вероятности этих значений: р 1
– вероятность того, что денежный приемник сработает при первом опускании, и р 1 =р; р 2 –
вероятность того, что будут произведены две попытки. Для этого нужно, чтобы: 1) при первой попытке денежный приемник не сработал; 2) при второй попытке – сработал. Вероятность этого события равна (1–р)р
. Аналогично 
и так далее, 
. Ряд распределения Х
примет вид
| 1 | 2 | 3 | … | к | … | |
| р | qp | q 2 p | q r -1 p |
Заметим, что вероятности р к образуют геометрическую прогрессию со знаменателем: 1–p=q , q<1, поэтому такое распределение вероятностей называется геометрическим .
ІІредположим далее, что построена математическая модель 
эксперимента, описываемого дискретной случайной величиной Х
, и рассмотрим вычисление вероятностей наступления произвольных событий .
Пусть произвольное событие содержит конечное либо счетное множество значений х i : A= {х 1 , х 2 ,..., х i , ... } .Событие А можно представить в виде объединения несовместных событий вида : . Тогда, применяя аксиому Колмогорова 3, получаем
так как вероятности наступления событий мы определили равными вероятностям появления событий, являющихся их прообразами. Это значит, что и вероятность любого события 
, , можно вычислить по формуле , так как это событие представимо в виде, объединения событий , где .
Тогда и функция распределения F(х) = Р(– <Х<х) находится по формуле . Отсюда следует, что функция распределения дискретной случайной величины Х разрывна и возрастает скачками, т. е. является ступенчатой функцией (рис. 2.2):
Если множество конечно, то число слагаемых в формуле конечно, если же счётно, то и число слагаемых счетно.
Пример 2.3. Техническое устройство состоит из двух элементов, работающих независимо друг от друга. Вероятность выходаиз строя первого элемента за время Т равна 0,2, а вероятность выхода второго элемента – 0,1. Случайная величина Х – число отказавших элементов за время Т. Найти функцию распределения случайнойвеличины и построить ее график.
Решение.
Пространство элементарных событий эксперимента, состоящего в исследовании надежности двух элементов технического устройства, определяется четырьмя элементарными событиями , , , : – оба элемента исправны; – первый элемент исправен, второй неисправен; – первый элемент неисправен, второй исправен; – оба элемента неисправны. Каждоеиз элементарных событий можно выразить через элементарные события пространств 
и 
, где – первый элемент исправен; – первый элемент вышел из строя; – второй элемент исправен; – второй элемент вышел из строя. Тогда , и таккак элементы технического устройства работают независимо друг от друга, то
8. Чему равна вероятность того, что значения дискретной случайной величины принадлежат промежутку ?
Х ; значение F (5); вероятность того, что случайная величина Х примет значения из отрезка . Построить многоугольник распределения.
- Известна функция распределения F(x) дискретной случайной величины Х :
Задать закон распределения случайной величины Х в виде таблицы.
- Дан закон распределения случайной величины Х :
| Х | –28 | –20 | –12 | –4 | |
| p | 0,22 | 0,44 | 0,17 | 0,1 | 0,07 |
- Вероятность того, что в магазине есть сертификаты качества для полного ассортимента товаров, равна 0,7. Комиссия проверила наличие сертификатов в четырёх магазинах района. Составить закон распределения, вычислить математическое ожидание и дисперсию числа магазинов, в которых при проверке не обнаружены сертификаты качества.
- Для определения средней продолжительности горения электроламп в партии из 350 одинаковых ящиков было взято на проверку по одной электролампе из каждого ящика. Оценить снизу вероятность того, что средняя продолжительность горения отобранных электроламп отличается от средней продолжительности горения всей партии по абсолютной величине меньше чем на 7 часов, если известно, что среднее квадратичное отклонение продолжительности горения электроламп в каждом ящике меньше 9 часов.
- На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,002. Найти вероятность того, что среди 500 соединений произойдёт:
Найти функцию распределения случайной величины Х . Построить графики функций и . Вычислить математическое ожидание, дисперсию, моду и медиану случайной величины Х .
- Станок-автомат изготавливает валики. Считается, что их диаметр – нормально распределённая случайная величина со средним значением 10мм. Чему равно среднее квадратичное отклонение, если с вероятностью 0,99 диаметр заключён в интервале от 9,7мм до 10,3мм.
Выборка А : 6 9 7 6 4 4
Выборка В: 55 72 54 53 64 53 59 48
42 46 50 63 71 56 54 59
54 44 50 43 51 52 60 43
50 70 68 59 53 58 62 49
59 51 52 47 57 71 60 46
55 58 72 47 60 65 63 63
58 56 55 51 64 54 54 63
56 44 73 41 68 54 48 52
52 50 55 49 71 67 58 46
50 51 72 63 64 48 47 55
Вариант 17.
- Среди 35 деталей 7 нестандартных. Найти вероятность того, что две наудачу взятые детали окажутся стандартными.
- Бросают три игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях кратна 9.
- Слово «ПРИКЛЮЧЕНИЕ» составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Карточки перемешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность того, что вынимаемые буквы в порядке появления образуют слово: а) ПРИКЛЮЧЕНИЕ; б) ПЛЕН.
- В урне содержится 6 чёрных и 5 белых шаров. Случайным образом вынимают 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них имеются:
- 2 белых шара;
- меньше чем 2 белых шара;
- хотя бы один чёрный шар.
- А в одном испытании равна 0,4. Найти вероятности следующих событий:
- событие А появится 3 раза в серии из 7 независимых испытаний;
- событие А появится не менее 220 и не более 235 раз в серии из 400 испытаний.
- Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность повреждения каждого изделия в пути равна 0,002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено не более 3 изделий.
- В первой урне 4 белых и 9 чёрных шаров, а во второй урне 7 белых и 3 чёрных шара. Из первой урны случайным образом вынимают 3 шара, а из второй урны – 4. Найти вероятность того, что все вынутые шары одного цвета.
- Дан закон распределения случайной величины Х :
Вычислить её математическое ожидание и дисперсию.
- В коробке лежат 10 карандашей. Наудачу извлекается 4 карандаша. Случайная величина Х – число синих карандашей среди отобранных. Найти закон её распределения, начальный и центральные моменты 2-го и 3-го порядков.
- Отдел технического контроля проверяет 475 изделий на брак. Вероятность того, что изделие бракованное равна 0,05. Найти с вероятностью 0,95 границы, в которых будет заключено количество бракованных изделий среди проверенных.
- На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,003. Найти вероятность того, что среди 1000 соединений произойдёт:
- хотя бы 4 неправильных соединения;
- более двух неправильных соединений.
- Случайная величина задана функцией плотности распределения:
Найти функцию распределения случайной величины Х . Построить графики функций и . Вычислить математическое ожидание, дисперсию, моду и медиану случайной величины Х.
- Случайная величина задана функцией распределения:
- По выборке А решить следующие задачи:
- составить вариационный ряд;
· выборочное среднее;
· выборочную дисперсию;
Моду и медиану;
Выборка А: 0 0 2 2 1 4
- вычислить числовые характеристики вариационного ряда:
· выборочное среднее;
· выборочную дисперсию;
· стандартное выборочное отклонение;
· моду и медиану;
Выборка В: 166 154 168 169 178 182 169 159
161 150 149 173 173 156 164 169
157 148 169 149 157 171 154 152
164 157 177 155 167 169 175 166
167 150 156 162 170 167 161 158
168 164 170 172 173 157 157 162
156 150 154 163 143 170 170 168
151 174 155 163 166 173 162 182
166 163 170 173 159 149 172 176
Вариант 18.
- Среди 10 лотерейных билетов 2 являются выигрышными. Найти вероятность того, что из взятых наудачу пяти билетов один окажется выигрышным.
- Бросают три игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков больше 15.
- Слово «ПЕРИМЕТР» составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Карточки перемешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность того, что вынимаемые буквы образуют слово: а) ПЕРИМЕТР; б) МЕТР.
- В урне содержится 5 чёрных и 7 белых шаров. Случайным образом вынимают 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них имеются:
- 4 белых шара;
- меньше чем 2 белых шара;
- хотя бы один чёрный шар.
- Вероятность наступления события А в одном испытании равна 0,55. Найти вероятности следующих событий:
- событие А появится 3 раза в серии из 5 испытаний;
- событие А появится не менее 130 и не более 200 раз в серии из 300 испытаний.
- Вероятность нарушения герметичности банки консервов равна 0,0005. Найти вероятность того, что среди 2000 банок две окажутся с нарушением герметичности.
- В первой урне 4 белых и 8 чёрных шаров, а во второй урне 7 белых и 4 чёрных шара. Из первой урны случайным образом вынимают 2 шара и из второй урны случайным образом вынимают по три шара. Найти вероятность того, что все вынутые шары одного цвета.
- Среди поступающих на сборку деталей, с первого станка 0,1% бракованных, со второго – 0,2%, с третьего – 0,25%, с четвёртого – 0,5%. Производительности станков относятся соответственно как 4:3:2:1. Взятая наудачу деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что деталь изготовлена на первом станке.
- Дан закон распределения случайной величины Х :
Вычислить её математическое ожидание и дисперсию.
- У электромонтёра три лампочки, каждая из которых имеет дефект с вероятностью 0,1.. Лампочки ввинчиваются в патрон и включается ток. При включении тока дефектная лампочка сразу же перегорает и заменяется другой. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа опробованных лампочек.
- Вероятность поражения цели равна 0,3 при каждом из 900 независимых выстрелов. Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что цель будет поражена не менее 240 раз и не более 300 раз.
- На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,002. Найти вероятность того, что среди 800 соединений произойдёт:
- хотя бы три неправильных соединения;
- более четырёх неправильных соединений.
- Случайная величина задана функцией плотности распределения:
Найти функцию распределения случайной величины Х. Построить графики функций и . Вычислить математическое ожидание, дисперсию, моду и медиану случайной величины Х.
- Случайная величина задана функцией распределения:
- По выборке А решить следующие задачи:
- составить вариационный ряд;
- вычислить относительные и накопленные частоты;
- составить эмпирическую функцию распределения и построить её график;
- вычислить числовые характеристики вариационного ряда:
· выборочное среднее;
· выборочную дисперсию;
· стандартное выборочное отклонение;
· моду и медиану;
Выборка А : 4 7 6 3 3 4
- По выборке В решить следующие задачи:
- составить группированный вариационный ряд;
- построить гистограмму и полигон частот;
- вычислить числовые характеристики вариационного ряда:
· выборочное среднее;
· выборочную дисперсию;
· стандартное выборочное отклонение;
· моду и медиану;
Выборка В : 152 161 141 155 171 160 150 157
154 164 138 172 155 152 177 160
168 157 115 128 154 149 150 141
172 154 144 177 151 128 150 147
143 164 156 145 156 170 171 142
148 153 152 170 142 153 162 128
150 146 155 154 163 142 171 138
128 158 140 160 144 150 162 151
163 157 177 127 141 160 160 142
159 147 142 122 155 144 170 177
Вариант 19.
1. На участке работают 16 женщин и 5 мужчин. По табельным номерам отобраны наудачу 3 человека. Найти вероятность того, что все отобранные люди окажутся мужчинами.
2. Бросают четыре монеты. Найти вероятность того, что только на двух монетах появится «герб».
3. Слово «ПСИХОЛОГИЯ» составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Карточки перемешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность того, что вынимаемые буквы образуют слово: а) ПСИХОЛОГИЯ; б) ПОСОХ.
4. В урне содержится 6 чёрных и 7 белых шаров. Случайным образом вынимают 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них имеются:
a. 3 белых шара;
b. меньше чем 3 белых шара;
c. хотя бы один белый шар.
5. Вероятность наступления события А в одном испытании равна 0,5. Найти вероятности следующих событий:
a. событие А появится 3 раза в серии из 5 независимых испытаний;
b. событие А появится не менее 30 и не более 40 раз в серии из 50 испытаний.
6. Имеется 100 станков одинаковой мощности, работающих независимо друг от друга в одинаковом режиме, при котором их привод оказывается включенным в течение 0,8 рабочего времени. Какова вероятность того, что в произвольно взятый момент времени окажутся включенными от 70 до 86 станков?
7. В первой урне 4 белых и 7 чёрных шаров, а во второй урне 8 белых и 3 чёрных шара. Из первой урны случайным образом вынимают 4 шара, а из второй – 1 шар. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров только 4 чёрных шара.
8. В салон по продаже автомобилей ежедневно поступают автомобили трёх марок в объёмах: «Москвич» – 40%; «Ока» – 20%; «Волга» – 40% от всех привезённых машин. Среди машин марки «Москвич» 0,5% имеют противоугонное устройство, «Ока» – 0,01%, «Волга» – 0,1%. Найти вероятность того, что взятая для проверки машина имеет противоугонное устройство.
9. На отрезке наудачу выбраны числа и . Найти вероятность того, что эти числа удовлетворяют неравенствам .
10. Дан закон распределения случайной величины Х :
| Х | ||||
| p | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 |
Найти функцию распределения случайной величины Х ; значение F (2); вероятность того, что случайная величина Х примет значения из интервала . Построить многоугольник распределения.
Дан ряд распределения дискретной случайной величины. Найти недостающую вероятность и построить график функции распределения. Вычислить математическое ожидание и дисперсию этой величины.
Случайная величина Х принимает только четыре значения: -4, -3, 1 и 2. Каждое из этих значений она принимает с определенной вероятностью. Так как сумма всех вероятностей должна быть равна 1, то недостающая вероятность равна:
0,3 + ? + 0,1 + 0,4 = 1,
Составим функцию распределения случайной величины Х. Известно, что функция распределения , тогда:
Следовательно,
Построим график функции F (x ) .
Математическое ожидание дискретной случайной величины равно сумме произведений значения случайной величины на соответствующую вероятность, т.е.
Дисперсию дискретной случайной величины найдем по формуле:
ПРИЛОЖЕНИЕ
Элементы комбинаторики Здесь: - факториал числа |
||||||||||
Действия над событиямиСобытие – это всякий факт, который может произойти или не произойти в результате опыта. Объединение событий А и В – это событие С , которое состоит в появлении или события А , или события В , или обоих событий одновременно. Обозначение:
Пересечение событий А и В – это событие С , которое состоит в одновременном появлении обоих событий. Обозначение:
 |
||||||||||
Классическое определение вероятностиВероятность события А
– это
отношение числа опытов
|
||||||||||
Формула умножения вероятностейВероятность события
Если события А и В – независимы (появление одного не влияет на появление другого), то вероятность события равна: |
||||||||||
Формула сложения вероятностейВероятность события
Вероятность события А, Вероятность события В,
Если события А и В – несовместны (не могут появиться одновременно), то вероятность события равна: |
||||||||||
Формула полной вероятностиПусть
событие А
может произойти
одновременно с одним из событий
|
||||||||||
Схема БернуллиПусть проводится n независимых испытаний. Вероятность появления (успеха) события А в каждом из них постоянна и равна p , вероятность неудачи (т.е. не появления события А ) q = 1 - p . Тогда вероятность появления k успехов в n испытаниях можно найти по формуле Бернулли:
Наивероятнейшее
число успехов
|
||||||||||
Случайные величиныдискретные непрерывные (н-р, число девочек в семье с 5 детьми) (н-р, время исправной работы чайника) Числовые характеристики дискретных случайных величинПусть дискретная величина задана рядом распределения:
, , …, - значения случайной величины Х ; , , …, - соответствующие им значения вероятностей. Функция распределенияФункцией распределения случайной величины Х называется функция , заданная на всей числовой прямой и равная вероятности того, что Х будет меньше х : |
;
;
, благоприятствующих появлению события
А
, к общему числу опытов
:
можно найти по формуле:
-
вероятность события А,
-
вероятность события В,
- вероятность события В
при условии,
что событие А
уже произошло.
можно найти по формуле:
- вероятность совместного появления
событий А
и В
.
,
,
…,
- назовем их гипотезами. Также известны
- вероятность выполнения i
-ой
гипотезы и
- вероятность появления события А при
выполнении i
-ой
гипотезы. Тогда вероятность события
А
может быть найдена по формуле:
в схеме Бернулли – это число появлений
некоторого события, которому
соответствует наибольшая вероятность.
Можно найти по формуле:
Вопросы к экзамену
Событие. Операции над случайными событиями.
Понятие вероятности события.
Правила сложения и умножения вероятностей. Условные вероятности.
Формула полной вероятности. Формула Байеса.
Схема Бернулли.
Случайная величина, ее функция распределения и ряд распределения.
Основные свойства функции распределения.
Математическое ожидание. Свойства математического ожидания.
Дисперсия. Свойства дисперсии.
Плотность распределения вероятностей одномерной случайной величины.
Виды распределений: равномерное, экспоненциальное, нормальное, биномиальное и распределение Пуассона.
Локальная и интегральные теоремы Муавра-Лапласа.
Закон и функция распределения системы двух случайных величин.
Плотность распределения системы двух случайных величин.
Условные законы распределения, условное математическое ожидание.
Зависимые и независимые случайные величины. Коэффициент корреляции.
Выборка. Обработка выборки. Полигон и гистограмма частот. Эмпирическая функция распределения.
Понятие оценки параметров распределения. Требования к оценке. Доверительный интервал. Построение интервалов для оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения.
Статистические гипотезы. Критерии согласия.
Учреждение образования «Белорусская государственная
сельскохозяйственная академия»
Кафедра высшей математики
Методические указания
по изучению темы «Случайные величины» студентами бухгалтерского факультета заочной формы получения образования (НИСПО)
Горки, 2013
Случайные величины
Дискретные и непрерывные случайные величины
Одним из основных понятий в теории вероятностей является понятие случайной величины . Случайной величиной называется величина, которая в результате испытания из множества возможных своих значений принимает только одно, причём заранее неизвестно, какое именно.
Случайные величины бывают дискретными и непрерывными . Дискретной случайной величиной (ДСВ) называется случайная величина, которая может принимать конечное число изолированных друг о друга значений, т.е. если возможные значения этой величины можно пересчитать. Непрерывной случайной величиной (НСВ) называется случайная величина, все возможные значения которой сплошь заполняют некоторый промежуток числовой прямой.
Случайные величины обозначаются заглавными буквами латинского алфавита X, Y, Z и т.д. Возможные значения случайных величин обозначаются соответствующими малыми буквами.
Запись
означает
«вероятность того, что случайная величинаХ
примет значение, равное 5, равна 0.28».
Пример 1 . Один раз бросают игральный кубик. При этом могут выпасть цифры от 1 до 6, обозначающие число очков. Обозначим случайную величину Х ={число выпавших очков}. Эта случайная величина в результате испытания может принять только одно из шести значений: 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Следовательно, случайная величина Х есть ДСВ.
Пример 2 . При бросании камня он пролетает некоторое расстояние. Обозначим случайную величину X ={расстояние полёта камня}. Эта случайная величина может принять любое, но только одно, значение из некоторого промежутка. Следовательно, случайная величина Х есть НСВ.
Закон распределения дискретной случайной величины
Дискретная случайная величина характеризуется значениями, которые она может принимать, и вероятностями, с которыми эти значения принимаются. Соответствие между возможными значениями дискретной случайной величины и соответствующими им вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины .
Если
известны все возможные значения
случайной величиныХ
и вероятности
появления этих значений, то считают,
что закон распределения ДСВХ
известен и он может быть записан в виде
таблицы:
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Закон
распределения ДСВ можно изобразить
графически, если в прямоугольной системе
координат изобразить точки
,
,
…,
и
соединить их отрезками прямых линий.
Полученная фигура называется
многоугольником распределения.
Пример 3 . В зерне, предназначенном для очистки, содержится 10% сорняков. Наугад отобраны 4 зерна. Обозначим случайную величину X ={число сорняков среди четырёх отобранных}. Построить закон распределения ДСВ Х и многоугольник распределения.
Решение . По условию примера . Тогда:
Запишем закон распределения ДСВ Х в виде таблицы и построим многоугольник распределения:
|
|
Математическое ожидание дискретной случайной величины
Наиболее важные свойства дискретной случайной величины описываются её характеристиками. Одной из таких характеристик является математическое ожидание случайной величины.
Пусть известен закон распределения ДСВ Х :
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Математическим
ожиданием
ДСВ Х
называется сумма произведений каждого
значения этой величины на соответствующую
вероятность:
.
Математическое ожидание случайной величины приближённо равно среднему арифметическому всех её значений. Поэтому в практических задачах часто за математическое ожидание принимают среднее значение этой случайной величины.
Пример 8 . Стрелок выбивает 4, 8, 9 и 10 очков с вероятностями 0.1, 0.45, 0.3 и 0.15. Найти математическое ожидание числа очков при одном выстреле.
Решение . Обозначим случайную величину X ={число выбитых очков}. Тогда . Таким образом, ожидаемое среднее значение числа выбитых очков при одном выстреле равно 8.2, а при 10 выстрелах – 82.
Основными свойствами математического ожидания являются:
.
.
,
где
,
.
.
,
где Х
и Y
– независимые случайные величины.
Разность
называетсяотклонением
случайной величины Х
от её математического ожидания. Эта
разность является случайной величиной
и её математическое ожидание равно
нулю, т.е.
.
Дисперсия дискретной случайной величины
Для характеристики случайной величины, кроме математического ожидания, используется и дисперсия , которая даёт возможность оценить рассеяние (разброс) значений случайной величины около её математического ожидания. При сравнении двух однородных случайных величин с равными математическими ожиданиями «лучшей» считается та величина, которая имеет меньший разброс, т.е. меньшую дисперсию.
Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания: .
В практических задачах для вычисления дисперсии используют равносильную формулу .
Основными свойствами дисперсии являются:
.
