Графическое решение уравнений, неравенств. «Графические методы решения уравнений и неравенств с параметрами

учащийся 10 класса Котовчихин Юрий

Уравнения с модулями ученики начинают изучать уже с 6-го класса, они изучают стандартный метод решения с помощью раскрытия модулей на промежутках знакопостоянства подмодульных выражений. Я выбрал именно эту тему, потому что считаю, что она требует более глубокого и досконального исследования, задачи с модулем вызывают большие трудности у учащихся. В школьной программе встречаются задания, содержащие модуль как задания повышенной сложности и на экзаменах, следовательно, мы должны быть готовы к встречи с таким заданием.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Муниципальное образовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа №5

Исследовательская работа на тему:

« Алгебраическое и графическое решение уравнений и неравенств, содержащих модуль »

Работу выполнил:

учащийся 10 класса

Котовчихин Юрий

Руководитель:

Преподаватель математики

Шанта Н.П.

Урюпинск

1.Введение………………………………………………………….3

2.Понятия и определения………………………………………….5

3.Доказательство теорем…………………………………………..6

4.Способы решение уравнений, содержащих модуль…………...7

4.1.Решение при помощи зависимостей между числами a и b, их модулями и квадратами…………………………………………………………12

4.2.Использование геометрической интерпретации модуля для решения уравнений…………………………………………………………..14

4.3.Графики простейших функций, содержащих знак абсолютной величины.

………………………………………………………………………15

4.4.Решение нестандартных уравнения, содержащие модуль….16

5.Заключение……………………………………………………….17

6.Список использованной литературы……………………………18

Цель работы: уравнения с модулями ученики начинают изучать уже с 6-го класса, они изучают стандартный метод решения с помощью раскрытия модулей на промежутках знакопостоянства подмодульных выражений. Я выбрал именно эту тему, потому что считаю, что она требует более глубокого и досконального исследования, задачи с модулем вызывают большие трудности у учащихся. В школьной программе встречаются задания, содержащие модуль как задания повышенной сложности и на экзаменах, следовательно, мы должны быть готовы к встречи с таким заданием.

1. Введение:

Слово "модуль" произошло от латинского слова "modulus", что в переводе означает "мера". Это многозначное слово(омоним), которое имеет множество значений и применяется не только в математике, но и в архитектуре, физике, технике, программировании и других точных науках.

В архитектуре -это исходная единица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения и служащая для выражения кратных соотношений его составных элементов.

В технике -это термин, применяемый в различных областях техники, не имеющий универсального значения и служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например модуль зацепления, модуль упругости и.т.п.

Модуль объемного сжатия (в физике)-отношение нормального напряжения в материале к относительному удлинению.

2. Понятия и определения

Модуль – абсолютное значение – действительного числа А обозначается |A|.

Чтобы глубоко изучать данную тему, необходимо познакомиться с простейшими определениями, которые мне будут необходимы:

Уравнение-это равенство, содержащее переменные.

Уравнение с модулем -это уравнение, содержащие переменную под знаком абсолютной величины(под знаком модуля).

Решить уравнение-это значит найти все его корни, или доказать, что корней нет.

3.Доказательство теорем

Теорема 1. Абсолютная величина действительного числа равна большему из двух чисел a или -a.

Доказательство

1. Если число a положительно, то -a отрицательно, т. е. -a

Например, число 5 положительно, тогда -5 - отрицательно и -5

В этом случае |a| = a, т. е. |a| совпадает с большим из двух чисел a и - a.

2. Если a отрицательно, тогда -a положительно и a

Следствие. Из теоремы следует, что |-a| = |a|.

В самом деле, как, так и равны большему из чисел -a и a, а значит равны между собой.

Теорема 2. Абсолютная величина любого действительного числа a равна арифметическому квадратному корню из А 2 .

В самом деле, если то, по определению модуля числа, будем иметь lАl>0 С другой стороны, при А>0 значит |a| = √A 2

Если a 2

Эта теорема дает возможность при решении некоторых задач заменять |a| на

Геометрически |a| означает расстояние на координатной прямой от точки, изображающей число a, до начала отсчета.

Если то на координатной прямой существует две точки a и -a, равноудаленной от нуля, модули которых равны.

Если a = 0, то на координатной прямой |a| изображается точкой 0

4.Способы решения уравнений, содержащих модуль.

Для решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины, мы будем основывается на определении модуля числа и свойствах абсолютной величины числа. Мы решим несколько примеров разными способами и посмотрим, какой из способов окажется проще для решения уравнений, содержащих модуль.

Пример 1. Решим аналитически и графически уравнение |x + 2| = 1.

Решение

Аналитическое решение

1-й способ

Рассуждать будем, исходя из определения модуля. Если выражение, находящееся под модулем неотрицательно, т. е. x + 2 ≥0 , тогда оно "выйдет" из под знака модуля со знаком "плюс" и уравнение примет вид: x + 2 = 1. Если значения выражения под знаком модуля отрицательно, тогда, по определению, оно будет равно: или x + 2=-1

Таким образом, получаем, либо x + 2 = 1, либо x + 2 = -1. Решая полученные уравнения, находим: Х+2=1 или Х+2+-1

Х=-1 Х=3

Ответ: -3;-1.

Теперь можно сделать вывод: если модуль некоторого выражения равен действительному положительному числу a, тогда выражение под модулем равно либо a, либо -а.

Графическое решение

Одним из способов решения уравнений, содержащих модуль является графический способ. Суть этого способа заключается в том, чтобы построить графики данных функций. В случае, если графики пересекутся, точки пересечений данных графиков будут является корнями нашего уравнения. В случае, если графики не пересекутся, мы сможем сделать вывод, что уравнение корней не имеет. Этот способ, вероятно, реже других применяют для решения уравнений, содержащих модуль, так как, во-первых, он занимает достаточно много времени и не всегда рационален, а, во-вторых, результаты, полученные при построении графиков, не всегда являются точными.

Другой способ решения уравнений, содержащих модуль- это способ разбиения числовой прямой на промежутки. В этом случае нам нужно разбить числовую прямую так, что по определению модуля, знак абсолютной величины на данных промежутках можно будет снять. Затем, для каждого из промежутков мы должны будем решить данное уравнение и сделать вывод, относительно получившихся корней(удовлетворяют они нашему промежутку или нет). Корни, удовлетворяющие промежутки и дадут окончательный ответ.

2-й способ

Установим, при каких значениях x, модуль равен нулю: |Х+2|=0 , Х=2

Получим два промежутка, на каждом из которых решим уравнение:

Получим две смешанных системы:

(1) Х+2 0

Х-2=1 Х+2=1

Решим каждую систему:

X=-3 X=-1

Ответ: -3;-1.

Графическое решение

y= |X+2|, y= 1.

Графическое решение

Для решения уравнения графическим способом, надо построить графики функций и

Для построения графика функции, построим график функции - это функция, пересекающая ось OX и ось OY в точках.

Абсциссы точек пересечения графиков функций дадут решения уравнения.

Прямая графика функции y=1 пересеклась с графиком функции y=|x + 2| в точках с координатами (-3; 1) и (-1; 1), следовательно решениями уравнения будут абсциссы точек:

x=-3, x=-1

Ответ: -3;-1

Пример 2. Решить аналитически и графически уравнение 1 + |x| = 0.5.

Решение:

Аналитическое решение

Преобразуем уравнение: 1 + |x| = 0.5

|x| =0.5-1

|x|=-0.5

Понятно, что в этом случае уравнение не имеет решений, так как, по определению, модуль всегда неотрицателен.

Ответ: решений нет.

Графическое решение

Преобразуем уравнение: : 1 + |x| = 0.5

|x| =0.5-1

|x|=-0.5

Графиком функции являются лучи - биссектрисы 1-го и 2-го координатных углов. Графиком функции является прямая, параллельная оси OX и проходящая через точку -0,5 на оси OY.

Графики не пересекаются, значит уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

Пример 3. Решите аналитически и графически уравнение |-x + 2| = 2x + 1.

Решение:

Аналитическое решение

1-й способ

Прежде следует установить область допустимых значений переменной. Возникает естественный вопрос, почему в предыдущих примерах не было необходимости делать этого, а сейчас она возникла.

Дело в том, что в этом примере в левой части уравнения модуль некоторого выражения, а в правой части не число, а выражение с переменной, - именно это важное обстоятельство отличает данный пример от предыдущих.

Поскольку в левой части - модуль, а в правой части, выражение, содержащее переменную, необходимо потребовать, чтобы это выражение было неотрицательным, т. е. Таким образом, область допустимых

значений модуля

Теперь можно рассуждать также, как и в примере 1, когда в правой части равенства находилось положительной число. Получим две смешанных системы:

(1) -X+2≥0 и (2) -X+2

X+2=2X+1; X-2=2X+1

Решим каждую систему:

(1) входит в промежуток и является корнем уравнения.

X≤2

X=⅓

(2) X>2

X=-3

X = -3 не входит в промежуток и не является корнем уравнения.

Ответ: ⅓.

4.1.Решение при помощи зависимостей между числами a и b, их модулями и квадратами этих чисел.

Помимо приведенных мною выше способов существует определенная равносильность, между числами и модулями данных чисел, а также между квадратами и модулями данных чисел:

|a|=|b| a=b или a=-b

A2=b2 a=b или a=-b

Отсюда в свою очередь получим, что

|a|=|b| a 2 =b 2

Пример 4. Решим уравнение |x + 1|=|2x - 5| двумя различными способами.

1.Учитывая соотношение (1), получим:

X + 1=2x - 5 или x + 1=-2x + 5

x - 2x=-5 - 1 x + 2x=5 - 1

X=-6|(:1) 3x=4

X=6 x=11/3

Корень первого уравнения x=6, корень второго уравнения x=11/3

Таким образом корни исходного уравнения x 1 =6, x 2 =11/3

2. В силу соотношения (2), получим

(x + 1)2=(2x - 5)2, или x2 + 2x + 1=4x2 - 20x + 25

X2 - 4x2 +2x+1 + 20x - 25=0

3x2 + 22x - 24=0|(:-1)

3x2 - 22x + 24=0

D/4=121-3 24=121 - 72=49>0 ==>уравнение имеет 2 различных корня.

x 1 =(11 - 7)/3=11/3

x 2 =(11 + 7)/3=6

Как показывает решение, корнями данного уравнения также являются числа 11/3 и 6

Ответ: x 1 =6, x 2 =11/3

Пример 5. Решим уравнение (2x + 3) 2 =(x - 1) 2 .

Учитывая соотношение (2), получим, что |2x + 3|=|x - 1|, откуда по образцу предыдущего примера(и по соотношению (1)):

2х + 3=х - 1 или 2х + 3=-х + 1

2х - х=-1 - 3 2х+ х=1 - 3

Х=-4 х=-0,(6)

Таким образом корнями уравнения являются х1=-4, и х2=-0,(6)

Ответ: х1=-4, х 2 =0,(6)

Пример 6. Решим уравнение |x - 6|=|x2 - 5x + 9|

Пользуясь соотношением, получим:

х - 6=х2 - 5х + 9 или х - 6 = -(х2 - 5х + 9)

Х2 + 5х + х - 6 - 9=0 |(-1) x - 6=-x2 + 5x - 9

x2 - 6x + 15=0 x2 - 4x + 3=0

D=36 - 4 15=36 - 60= -24 D=16 - 4 3=4 >0==>2 р.к.

==> корней нет.

X 1 =(4- 2) /2=1

X 2 =(4 + 2) /2=3

Проверка: |1 - 6|=|12 - 5 1 + 9| |3 - 6|=|32 - 5 3 + 9|

5 = 5(И) 3 = |9 - 15 + 9|

3 = 3(И)

Ответ: x 1 =1; x 2 =3

4.2.Использование геометрической интерпретации модуля для решения уравнений.

Геометрический смысл модуля разности величин -это расстояние между ними. Например, геометрический смысл выражения |x - a | -длина отрезка координатной оси, соединяющей точки с абсциссами а и х. Перевод алгебраической задачи на геометрический язык часто позволяет избежать громоздких решений.

Пример7. Решим уравнение |x - 1| + |x - 2|=1 с использованием геометрической интерпретации модуля.

Будем рассуждать следующим образом: исходя из геометрической интерпретации модуля, левая часть уравнения представляет собой сумму расстояний от некоторой точки абсцисс х до двух фиксированных точек с абсциссами 1 и 2. Тогда очевидно, что все точки с абсциссами из отрезка обладают требуемым свойством, а точки, расположенные вне этого отрезка- нет. Отсюда ответ: множеством решений уравнения является отрезок .

Ответ:

Пример8. Решим уравнение |x - 1| - |x - 2|=1 1 с использованием геометрической интерпретации модуля.

Будем рассуждать аналогично предыдущему примеру, при этом получим, что разность расстояний до точек с абсциссами 1 и 2 равна единице только для точек, расположенных на координатной оси правее числа 2. Следовательно решением данного уравнения будет является не отрезок, заключенный между точками 1 и 2, а луч, выходящий из точки 2, и направленный в положительном направлении оси ОХ.

Ответ: ∪ [ x 2 , + ∞) или в другой записи x ≤ x 1 , x ≥ x 2 ;

решением квадратного неравенства a · x 2 + b · x + c < 0 является (x 1 , x 2) или в другой записи x 1 < x < x 2 ;

решением квадратного неравенства a · x 2 + b · x + c ≤ 0 является [ x 1 , x 2 ] или в другой записи x 1 ≤ x ≤ x 2 ,

где x 1 и x 2 – корни квадратного трехчлена a · x 2 + b · x + c , причем x 1 < x 2 .

На данном рисунке парабола касается оси O х только в одной точке, которая обозначена как x 0 a > 0 . D = 0 , следовательно, квадратный трехчлен имеет один корень x 0 .

Парабола расположена выше оси O х полностью, за исключением точки касания координатной оси. Обозначим цветом промежутки (− ∞ , x 0) , (x 0 , ∞) .

Запишем результаты. При a > 0 и D = 0 :

решением квадратного неравенства a · x 2 + b · x + c > 0 является (− ∞ , x 0) ∪ (x 0 , + ∞) или в другой записи x ≠ x 0 ;
решением квадратного неравенства a · x 2 + b · x + c ≥ 0 является (− ∞ , + ∞) или в другой записи x ∈ R ;
квадратное неравенство a · x 2 + b · x + c < 0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси O x );
квадратное неравенство a · x 2 + b · x + c ≤ 0 имеет единственное решение x = x 0 (его дает точка касания),

где x 0 - корень квадратного трехчлена a · x 2 + b · x + c .

Рассмотрим третий случай, когда ветви параболы направлены вверх и не касаются оси O x . Ветви параболы направлены вверх, что означает, что a > 0 . Квадратный трехчлен не имеет действительных корней, так как D < 0 .

На графике нет интервалов, на которых парабола была бы ниже оси абсцисс. Это мы будем учитывать при выборе цвета для нашего рисунка.

Получается, что при a > 0 и D < 0 решением квадратных неравенств a · x 2 + b · x + c > 0 и a · x 2 + b · x + c ≥ 0 является множество всех действительных чисел, а неравенства a · x 2 + b · x + c < 0 и a · x 2 + b · x + c ≤ 0 не имеют решений.

Нам осталось рассмотреть три варианта, когда ветви параболы направлены вниз. На этих трех вариантах можно не останавливаться подробно, так как при умножении обеих частей неравенства на − 1 мы получаем равносильное неравенство с положительным коэффициентом при х 2 .

Рассмотрение предыдущего раздела статьи подготовило нас к восприятию алгоритма решения неравенств с использованием графического способа. Для проведения вычислений нам необходимо будет каждый раз использовать чертеж, на котором будет изображена координатная прямая O х и парабола, которая отвечает квадратичной функции y = a · x 2 + b · x + c . Ось O у мы в большинстве случаев изображать не будем, так как для вычислений она не нужна и будет лишь перегружать чертеж.

Для построения параболы нам необходимо будет знать две вещи:

Определение 2

направление ветвей, которое определяется значением коэффициента a ;
наличие точек пересечения параболы и оси абсцисс, которые определяются значением дискриминанта квадратного трехчлена a · x 2 + b · x + c .

Точки пересечения и касания мы будет обозначать обычным способом при решении нестрогих неравенств и пустыми при решении строгих.

Наличие готового чертежа позволяет перейти к следующему шагу решения. Он предполагает определение промежутков, на которых парабола располагается выше или ниже оси O х. Промежутки и точки пересечения и являются решением квадратного неравенства. Если точек пересечения или касания нет и нет интервалов, то считается, что заданное в условиях задачи неравенство не имеет решений.

Теперь решим несколько квадратных неравенств, используя приведенный выше алгоритм.

Пример 1

Необходимо решить неравенство 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2 графическим способом.

Решение

Нарисуем график квадратичной функции y = 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2 . Коэффициент при x 2 положительный, так как равен 2 . Это значит, что ветви параболы будут направлены вверх.

Вычислим дискриминант квадратного трехчлена 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2 для того, чтобы выяснить, имеет ли парабола с осью абсцисс общие точки. Получаем:

D = 5 1 3 2 - 4 · 2 · (- 2) = 400 9

Как видим, D больше нуля, следовательно, у нас есть две точки пересечения: x 1 = - 5 1 3 - 400 9 2 · 2 и x 2 = - 5 1 3 + 400 9 2 · 2 , то есть, x 1 = − 3 и x 2 = 1 3 .

Мы решаем нестрогое неравенство, следовательно проставляем на графике обычные точки. Рисуем параболу. Как видите, рисунок имеет такой же вид как и в первом рассмотренном нами шаблоне.

Наше неравенство имеет знак ≤ . Следовательно, нам нужно выделить промежутки на графике, на которых парабола расположена ниже оси O x и добавить к ним точки пересечения.

Нужный нам интервал − 3 , 1 3 . Добавляем к нему точки пересечения и получаем числовой отрезок − 3 , 1 3 . Это и есть решение нашей задачи. Записать ответ можно в виде двойного неравенства: − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

Ответ: − 3 , 1 3 или − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

Пример 2

− x 2 + 16 · x − 63 < 0 графическим методом.

Решение

Квадрат переменной имеет отрицательный числовой коэффициент, поэтому ветви параболы будут направлены вниз. Вычислим четвертую часть дискриминанта D " = 8 2 − (− 1) · (− 63) = 64 − 63 = 1 . Такой результат подсказывает нам, что точек пересечения будет две.

Вычислим корни квадратного трехчлена: x 1 = - 8 + 1 - 1 и x 2 = - 8 - 1 - 1 , x 1 = 7 и x 2 = 9 .

Получается, что парабола пересекает ось абсцисс в точках 7 и 9 . Отметим эти точки на графике пустыми, так как мы работаем со строгим неравенством. После этого нарисуем параболу, которая пересекает ось O х в отмеченных точках.

Нас будут интересовать промежутки, на которых парабола располагается ниже оси O х. Отметим эти интервалы синим цветом.

Получаем ответ: решением неравенства являются промежутки (− ∞ , 7) , (9 , + ∞) .

Ответ: (− ∞ , 7) ∪ (9 , + ∞) или в другой записи x < 7 , x > 9 .

В тех случаях, когда дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, необходимо внимательно подходить к вопросу о том, стоит ли включать в ответ абсциссы точки касания. Для того, чтобы принять правильное решение, необходимо учитывать знак неравенства. В строгих неравенствах точка касания оси абсцисс не является решением неравенства, в нестрогих является.

Пример 3

Решите квадратное неравенство 10 · x 2 − 14 · x + 4 , 9 ≤ 0 графическим методом.

Решение

Ветви параболы в данном случае будут направлены вверх. Она будет касаться оси O х в точке 0 , 7 , так как

Построим график функции y = 10 · x 2 − 14 · x + 4 , 9 . Ее ветви направлены вверх, так как коэффициент при x 2 положительный, и она касается оси абсцисс в точке с абсциссой 0 , 7 , так как D " = (− 7) 2 − 10 · 4 , 9 = 0 , откуда x 0 = 7 10 или 0 , 7 .

Поставим точку и нарисуем параболу.

Мы решаем нестрогое неравенство со знаком ≤ . Следовательно. Нас будут интересовать промежутки, на которых парабола располагается ниже оси абсцисс и точка касания. На рисунке нет интервалов, которые удовлетворяли бы нашим условиям. Есть лишь точка касания 0 , 7 . Это и есть искомое решение.

Ответ: Неравенство имеет только одно решение 0 , 7 .

Пример 4

Решите квадратное неравенство – x 2 + 8 · x − 16 < 0 .

Решение

Ветви параболы направлены вниз. Дискриминант равен нулю. Точка пересечения x 0 = 4 .

Отмечаем точку касания на оси абсцисс и рисуем параболу.

Мы имеем дело со строгим неравенством. Следовательно, нас интересуют интервалы, на которых парабола расположена ниже оси O х. Отметим их синим.

Точка с абсциссой 4 не является решением, так как в ней парабола не расположена ниже оси O x . Следовательно, мы получаем два интервала (− ∞ , 4) , (4 , + ∞) .

Ответ: (− ∞ , 4) ∪ (4 , + ∞) или в другой записи x ≠ 4 .

Не всегда при отрицательном значении дискриминанта неравенство не будет иметь решений. Есть случаи, когда решением будет являться множество всех действительных чисел.

Пример 5

Решите квадратное неравенство 3 · x 2 + 1 > 0 графическим способом.

Решение

Коэффициент а положительный. Дискриминант отрицательный. Ветви параболы будут направлены вверх. Точек пересечения параболы с осью O х нет. Обратимся к рисунку.

Мы работаем со строгим неравенством, которое имеет знак > . Это значит, что нас интересуют промежутки, на которых парабола располагается выше оси абсцисс. Это как раз тот случай, когда ответом является множество всех действительный чисел.

Ответ: (− ∞ , + ∞) или так x ∈ R .

Пример 6

Необходимо найти решение неравенства − 2 · x 2 − 7 · x − 12 ≥ 0 графическим способом.

Решение

Ветви параболы направлены вниз. Дискриминант отрицательный, следовательно, общих точек параболы и оси абсцисс нет. Обратимся к рисунку.

Мы работаем с нестрогим неравенством со знаком ≥ , следовательно, интерес для нас представляют промежутки, на которых парабола располагается выше оси абсцисс. Судя по графику, таких промежутков нет. Это значит, что данное у условии задачи неравенство не имеет решений.

Ответ: Нет решений.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Министерство образования и молодежной политики Ставропольского края

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

Георгиевский региональный колледж «Интеграл»

ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ

По дисциплине « Математика: алгебра, начала математического анализа, геометрия»

На тему: “Графическое решение уравнений и неравенств”

Выполнил студент группы ПК-61, обучающийся по специальности

«Программирование в компьютерных системах»

Целлер Тимур Витальевич

Руководитель: преподаватель Серкова Н.А.

Дата сдачи: « » 2017г.

Дата защиты: « » 2017г.

Георгиевск 2017г.

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

ЦЕЛЬ ПРОЕКТА:

Цель: Выяснить преимущества графического способа решения уравнений и неравенств.

Задачи:

Сравнить аналитический и графический способ решения уравнений и неравенств.

Ознакомиться в каких случаях графический способ имеет преимущества.

Рассмотреть решение уравнений с модулем и параметром.

Актуальность исследования: Анализ материала, посвящённого графическому решению уравнений и неравенств в учебных пособиях «Алгебра и начала математического анализа» разных авторов, учёт целей изучения данной темы. Атак же обязательных результатов обучения, связанных с рассматриваемой темой.

Содержание

Введение

1. Уравнения с параметрами

1.1. Определения

1.2. Алгоритм решения

1.3. Примеры

2. Неравенства с параметрами

2.1. Определения

2.2. Алгоритм решения

2.3. Примеры

3. Применение графиков в решении уравнений

3.1. Графическое решение квадратного уравнения

3.2. Системы уравнений

3.3. Тригонометрические уравнения

4. Применение графиков в решении неравенств

5.Заключение

6. Список литературы

Введение

Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Некоторые Вузы также включают в экзаменационные билеты уравнения, неравенства и их системы, которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. В школе же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса математики рассматривается только на немногочисленных факультативных занятиях.

Готовя данную работу, я ставил цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу. На мой взгляд графический метод является удобным и быстрым способом решения уравнений и неравенств с параметрами.

В моём проекте рассмотрены часто встречающиеся типы уравнений, неравенств и их систем.

1. Уравнения с параметрами

Рассмотрим уравнение

(a, b, c, …, k, x)=(a, b, c, …, k, x), (1)

где a, b, c, …, k, x -переменные величины.

Любая система значений переменных

а = а 0 , b = b 0 , c = c 0 , …, k = k 0 , x = x 0 ,

при которой и левая и правая части этого уравнения принимают действительные значения, называется системой допустимых значений переменных a, b, c, …, k, x. Пусть А – множество всех допустимых значений а, B – множество всех допустимых значений b, и т.д., Х – множество всех допустимых значений х, т.е. аА, bB, …, xX. Если у каждого из множеств A, B, C, …, K выбрать и зафиксировать соответственно по одному значению a, b, c, …, k и подставить их в уравнение (1), то получим уравнение относительно x, т.е. уравнение с одним неизвестным.

Переменные a, b, c, …, k, которые при решении уравнения считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется уравнением, содержащим параметры.

Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, d, …, k, l, m, n а неизвестные – буквами x, y,z.

Решить уравнение с параметрами – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они.

Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:

а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;

б) каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот.

Находим область определения уравнения.

Выражаем a как функцию от х.

В системе координат хОа строим график функции а=(х) для тех значений х, которые входят в область определения данного уравнения.

Находим точки пересечения прямой а=с, где с(-;+) с графиком функции а=(х).Если прямая а=с пересекает график а=(х), то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение а=(х) относительно х.

Записываем ответ.

I. Решить уравнение

(1)

Решение.

Поскольку х=0 не является корнем уравнения, то можно разрешить уравнение относительно а:

или

График функции – две “склеенных” гиперболы. Количество решений исходного уравнения определяется количеством точек пересечения построенной линии и прямой у=а.

Если а  (-;-1](1;+) , то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в одной точке. Абсциссу этой точки найдем при решении уравнения относительно х.

Таким образом, на этом промежутке уравнение (1) имеет решение.

Если а  , то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в двух точках. Абсциссы этих точек можно найти из уравнений и, получаем

и.

Если а  , то прямая у=а не пересекает график уравнения (1), следовательно решений нет.

Ответ:

Если а  (-;-1](1;+), то;

Если а  , то, ;

Если а  , то решений нет.

II. Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет три различных корня.

Решение.

Переписав уравнение в виде и рассмотрев пару функций, можно заметить, что искомые значения параметра а и только они будут соответствовать тем положениям графика функции, при которых он имеет точно три точки пересечения с графиком функции.

В системе координат хОу построим график функции). Для этого можно представить её в виде и, рассмотрев четыре возникающих случая, запишем эту функцию в виде

Поскольку график функции – это прямая, имеющая угол наклона к оси Ох, равный, и пересекающая ось Оу в точке с координатами (0 , а), заключаем, что три указанные точки пересечения можно получить лишь в случае, когда эта прямая касается графика функции. Поэтому находим производную

Ответ: .

III. Найти все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений

имеет решения.

Решение.

Из первого уравнения системы получим при Следовательно, это уравнение задаёт семейство “полупарабол” - правые ветви параболы “скользят” вершинами по оси абсцисс.

Выделим в левой части второго уравнения полные квадраты и разложим её на множители

Множеством точек плоскости, удовлетворяющих второму уравнению, являются две прямые

Выясним, при каких значениях параметра а кривая из семейства “полупарабол” имеет хотя бы одну общую точку с одной из полученных прямых.

Если вершины полупарабол находятся правее точки А, но левее точки В (точка В соответствует вершине той “полупараболы”, которая касается

прямой), то рассматриваемые графики не имеют общих точек. Если вершина “полупараболы” совпадает с точкой А, то.

Случай касания “полупараболы” с прямой определим из условия существования единственного решения системы

В этом случае уравнение

имеет один корень, откуда находим:

Следовательно, исходная система не имеет решений при, а при или имеет хотя бы одно решение.

Ответ: а  (-;-3] (;+).

IV. Решить уравнение

Решение.

Использовав равенство, заданное уравнение перепишем в виде

Это уравнение равносильно системе

Уравнение перепишем в виде

. (*)

Последнее уравнение проще всего решить, используя геометрические соображения. Построим графики функций и Из графика следует, что при графики не пересекаются и, следовательно, уравнение не имеет решений.

Если, то при графики функций совпадают и, следовательно, все значения являются решениями уравнения (*).

При графики пересекаются в одной точке, абсцисса которой. Таким образом, при уравнение (*) имеет единственное решение - .

Исследуем теперь, при каких значениях а найденные решения уравнения (*) будут удовлетворять условиям

Пусть, тогда. Система примет вид

Её решением будет промежуток х (1;5). Учитывая, что, можно заключить, что при исходному уравнению удовлетворяют все значения х из промежутка исходное неравенство равносильно верному числовому неравенству 2<4.Поэтому все значения переменной, принадлежащие этому отрезку, входят в множество решений.

На интеграле (1;+∞) опять получаем линейное неравенство 2х<4, справедливое при х<2. Поэтому интеграл (1;2) также входит в множество решений. Объединяя полученные результаты, делаем вывод: неравенству удовлетворяют все значения переменной из интеграла (-2;2) и только они.

Однако тот же самый результат можно получить из наглядных и в то же время строгих геометрических соображений. На рисунке 7 построены графики функций: y = f ( x )=| x -1|+| x +1| и y =4.

Рисунок 7.

На интеграле (-2;2) график функции y = f (x ) расположен под графиком функции у=4, а это означает, что неравенство f (x )<4 справедливо. Ответ:(-2;2)

II )Неравенства с параметрами.

Решение неравенств с одним или несколькими параметрами представляет собой, как правило, задачу более сложную по сравнению с задачей, в которой параметры отсутствуют.

Например, неравенство √а+х+√а-х>4, содержащее параметр а, естественно, требует, для своего решения гораздо больше усилий, чем неравенство √1+х + √1-х>1.

Что значит решить первое из этих неравенств? Это, по существу, означает решить не одно неравенство, а целый класс, целое множество неравенств, которые получаются, если придавать параметру а конкретные числовые значения. Второе же из выписанных неравенств является частным случаем первого, так как получается из него при значении а=1.

Таким образом, решить неравенство, содержащее параметры, это значит определить, при каких значениях параметров неравенство имеет решения и для всех таких значений параметров найти все решения.

Пример1:

Решить неравенство |х-а|+|х+а|< b , a <>0.

Для решения данного неравенства с двумя параметрами a u b воспользуемся геометрическими соображениями. На рисунке 8 и 9 построены графики функций.

Y = f (x )=| x - a |+| x + a | u y = b .

Очевидно, что при b <=2| a | прямая y = b проходит не выше горизонтального отрезка кривой y =| x - a |+| x + a | и, следовательно, неравенство в этом случае не имеет решений (рисунок 8). Если же b >2| a |, то прямая y = b пересекает график функции y = f (x ) в двух точках (- b /2; b ) u (b /2; b )(рисунок 6) и неравенство в этом случае справедливо при – b /2< x < b /2,так как при этих значениях переменной кривая y =| x + a |+| x - a | расположена под прямой y = b .

Ответ: Если b <=2| a | , то решений нет,

Если b >2| a |, то x €(- b /2; b /2).

III ) Тригонометрические неравенства:

При решении неравенств с тригонометрическими функциями существенно используется периодичность этих функций и их монотонность на соответствующих промежутках. Простейшие тригонометрические неравенства. Функция sin x имеет положительный период 2π. Поэтому неравенства вида: sin x>a, sin x>=a,

sin x

Достаточно решить сначала на каком-либо отрезке длины 2 π . Множество всех решений получим, прибавив к каждому из найденных на этом отрезке решений числа вида 2 π п, пЄ Z .

Пример 1: Решить неравенство sin x >-1/2.(рисунок 10)

Сначала решим это неравенство на отрезке[-π/2;3π/2]. Рассмотрим его левую часть – отрезок [-π/2;3π/2].Здесь уравнение sin x =-1/2 имеет одно решение х=-π/6; а функция sin x монотонно возрастает. Значит, если –π/2<= x <= -π/6, то sin x <= sin (- π /6)=-1/2, т.е. эти значения х решениями неравенства не являются. Если же –π/6<х<=π/2 то sin x > sin (-π/6) = –1/2. Все эти значения х не являются решениями неравенства.

На оставшемся отрезке [π/2;3π/2] функция sin x монотонно убывает и уравнение sin x = -1/2 имеет одно решение х=7π/6. Следовательно, если π/2<= x <7π/, то sin x > sin (7π/6)=-1/2, т.е. все эти значения х являются решениями неравенства. Для x Є имеем sin x <= sin (7π/6)=-1/2, эти значения х решениями не являются. Таким образом, множество всех решений данного неравенства на отрезке [-π/2;3π/2] есть интеграл (-π/6;7π/6).

В силу периодичности функции sin x с периодом 2π значения х из любого интеграла вида: (-π/6+2πn;7π/6 +2πn),nЄ Z , также являются решениями неравенства. Никакие другие значения х решениями этого неравенства не являются.

Ответ: -π/6+2π n < x <7π/6+2π n , где n Є Z .

Заключение

Мы рассмотрели графический метод решения уравнений и неравенств; рассмотрели конкретные примеры, при решении которых использовали такие свойства функций, как монотонность и четность. Анализ научной литературы, учебников математики позволил структурировать отобранный материал в соответствии с целями исследования, подобрать и разработать эффективные методы решения уравнений и неравенств. В работе представлен графический метод решения уравнений и неравенств и примеры, в которых используются данные методы. Результатом проекта можно считать творческие задания, как вспомогательный материал для развития навыка решения уравнений и неравенств графическим методом.

Список использованной литературы

Далингер В. А. “Геометрия помогает алгебре”. Издательство “Школа - Пресс”. Москва 1996 г.

Далингер В. А. “Все для обеспечения успеха на выпускных и вступительных экзаменах по математике”. Издательство Омского педуниверситета. Омск 1995 г.

Окунев А. А. “Графическое решение уравнений с параметрами”. Издательство “Школа - Пресс”. Москва 1986 г.

Письменский Д. Т. “Математика для старшеклассников”. Издательство “Айрис”. Москва 1996 г.

Ястрибинецкий Г. А. “Уравнений и неравенства, содержащие параметры”. Издательство “Просвещение”. Москва 1972 г.

Г. Корн и Т.Корн “Справочник по математике”. Издательство “Наука” физико–математическая литература. Москва 1977 г.

Амелькин В. В. и Рабцевич В. Л. “Задачи с параметрами” . Издательство “Асар”. Минск 1996 г.

Интернет ресурсы

см. также Решение задачи линейного программирования графически , Каноническая форма задач линейного программирования

Система ограничений такой задачи состоит из неравенств от двух переменных:
и целевая функция имеет вид F = C 1 x + C 2 y , которую необходимо максимизировать.

Ответим на вопрос: какие пары чисел ( x ; y ) являются решениями системы неравенств, т. е. удовлетворяют каждому из неравенств одновременно? Другими словами, что значит решить систему графически?
Предварительно необходимо понять, что является решением одного линейного неравенства с двумя неизвестными.
Решить линейное неравенство с двумя неизвестными – это значит определить все пары значений неизвестных, при которых неравенство выполняется.
Например, неравенству 3x – 5 y ≥ 42 удовлетворяют пары (x , y ) : (100, 2); (3, –10) и т. д. Задача состоит в нахождении всех таких пар.
Рассмотрим два неравенства: ax + by ≤ c , ax + by ≥ c . Прямая ax + by = c делит плоскость на две полуплоскости так, что координаты точек одной из них удовлетворяют неравенству ax + by >c , а другой неравенству ax + +by <c .
Действительно, возьмем точку с координатой x = x 0 ; тогда точка, лежащая на прямой и имеющая абсциссу x 0 , имеет ординату

Пусть для определенности a < 0, b >0, c >0. Все точки с абсциссой x 0 , лежащие выше P (например, точка М ), имеют y M >y 0 , а все точки, лежащие ниже точки P , с абсциссой x 0 , имеют y N <y 0 . Поскольку x 0 –произвольная точка, то всегда с одной стороны от прямой будут находиться точки, для которых ax + by > c , образующие полуплоскость, а с другой стороны – точки, для которых ax + by < c .

Рисунок 1

Знак неравенства в полуплоскости зависит от чисел a , b , c .
Отсюда вытекает следующий способ графического решения систем линейных неравенств от двух переменных. Для решения системы необходимо:

Для каждого неравенства выписать уравнение, соответствующее данному неравенству.
Построить прямые, являющиеся графиками функций, задаваемых уравнениями.
Для каждой прямой определить полуплоскость, которая задается неравенством. Для этого взять произвольную точку, не лежащую на прямой, подставить ее координаты в неравенство. если неравенство верное, то полуплоскость, содержащая выбранную точку, и является решением исходного неравенства. Если неравенство неверное, то полуплоскость по другую сторону прямой является множеством решений данного неравенства.
Чтобы решить систему неравенств, необходимо найти область пересечения всех полуплоскостей, являющихся решением каждого неравенства системы.

Эта область может оказаться пустой, тогда система неравенств не имеет решений, несовместна. В противном случае говорят, что система совместна.
Решений может быть конечное число и бесконечное множество. Область может представлять собой замкнутый многоугольник или же быть неограниченной.

Рассмотрим три соответствующих примера.

Пример 1. Решить графически систему:
x + y – 1 ≤ 0;
–2 x – 2y + 5 ≤ 0.

рассмотрим уравнения x+y–1=0 и –2x–2y+5=0 , соответствующие неравенствам;
построим прямые, задающиеся этими уравнениями.

Рисунок 2

Определим полуплоскости, задаваемые неравенствами. Возьмем произвольную точку, пусть (0; 0). Рассмотрим x + y– 1 0, подставим точку (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. значит, в той полуплоскости, где лежит точка (0; 0), x + y – 1 ≤ 0, т.е. полуплоскость, лежащая ниже прямой, является решением первого неравенства. Подставив эту точку (0; 0), во второе, получим: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, т.е. в полуплоскости, где лежит точка (0; 0), –2x – 2y + 5≥ 0, а нас спрашивали, где –2x – 2y + 5 ≤ 0, следовательно, в другой полуплоскости – в той, что выше прямой.
Найдем пересечение этих двух полуплоскостей. Прямые параллельны, поэтому плоскости нигде не пересекаются, значит система данных неравенств решений не имеет, несовместна.

Пример 2. Найти графически решения системы неравенств:

Рисунок 3
1. Выпишем уравнения, соответствующие неравенствам, и построим прямые.
x + 2y – 2 = 0

x	2	0
y	0	1

y – x – 1 = 0

x	0	2
y	1	3

y + 2 = 0;
y = –2.
2. Выбрав точку (0; 0), определим знаки неравенств в полуплоскостях:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, т.е. x + 2y – 2 ≤ 0 в полуплоскости ниже прямой;
0 – 0 – 1 ≤ 0, т.е. y –x – 1 ≤ 0 в полуплоскости ниже прямой;
0 + 2 =2 ≥ 0, т.е. y + 2 ≥ 0 в полуплоскости выше прямой.
3. Пересечением этих трех полуплоскостей будет являться область, являющаяся треугольником. Нетрудно найти вершины области, как точки пересечения соответствующих прямых

Таким образом, А (–3; –2), В (0; 1), С (6; –2).

Рассмотрим еще один пример, в котором получившаяся область решения системы не ограничена.