Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Ключевые слова: интеграл, криволинейная трапеция, площадь фигур, ограниченных лилиями
Оборудование : маркерная доска, компьютер, мультимедиа-проектор
Тип урока : урок-лекция
Цели урока :
- воспитательные: формировать культуру умственного труда, создавать для каждого ученика ситуацию успеха, формировать положительную мотивацию к учению; развивать умение говорить и слушать других.
- развивающие: формирование самостоятельности мышления ученика по применению знаний в различных ситуациях, умения анализировать и делать выводы, развитие логики, развитие умения правильно ставить вопросы и находить на них ответы. Совершенствование формирования вычислительных, расчётных навыков, развитие мышления учащихся в ходе выполнения предложенных заданий, развитие алгоритмической культуры.
- образовательные : сформировать понятия о криволинейной трапеции, об интеграле, овладеть навыками вычисления площадей плоских фигур
Метод обучения: объяснительно-иллюстративный.
Ход урока
В предыдущих классах мы научились вычислять площади фигур, границами которых являются ломаные. В математике существуют методы, позволяющие вычислять площади фигур, ограниченных кривыми. Такие фигуры называются криволинейными трапециями, и вычисляют их площадь с помощью первообразных.
Криволинейная трапеция (слайд 1 )
Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком функции , (щ.м. ), прямыми x = a и x = b и осью абсцисс
Различные виды криволинейных трапеций (слайд 2)
Рассматриваем различные виды криволинейных трапеций и замечаем: одна из прямых вырождена в точку, роль ограничивающей функции играет прямая
Площадь криволинейной трапеции (слайд 3)
Зафиксируем левый конец промежутка а, а правый х будем менять, т. е., мы двигаем правую стенку криволинейной трапеции и получаем меняющуюся фигуру. Площадь переменной криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , является первообразной F для функции f
И на отрезке [a; b ] площадь криволинейной трапеции, образованной функцией f, равна приращению первообразной этой функции:
Задание 1:
Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции: f(x) = х 2 и прямыми у = 0, х = 1, х = 2.
Решение: (по алгоритму слайд 3 )
Начертим график функции и прямые
Найдём одну из первообразных функции f(x) = х 2 :
Самопроверка по слайду
Интеграл
Рассмотрим криволинейную трапецию, заданную функцией f на отрезке [a; b ]. Разобьём этот отрезок на несколько частей. Площадь всей трапеции разобьётся на сумму площадей более мелких криволинейных трапеций. (слайд 5) . Каждую такую трапецию можно приближённо считать прямоугольником. Сумма площадей этих прямоугольников даёт приближённое представление о всей площади криволинейной трапеции. Чем мельче мы разобьём отрезок [a; b ], тем точнее вычислим площадь.
Запишем эти рассуждения в виде формул.
Разделим отрезок [a; b ] на n частей точками х 0 =а, х1,… ,хn = b. Длину k- го обозначим через хk = xk – xk-1 . Составим сумму
Геометрически эта сумма представляет собой площадь фигуры, заштрихованной на рисунке (щ.м .)
Суммы вида называются интегральными суммами для функции f . (щ.м.)
Интегральные суммы дают приближённое значение площади. Точное значение получается при помощи предельного перехода. Представим, что мы измельчаем разбиение отрезка [a; b ] так, что длины всех маленьких отрезков стремятся к нулю. Тогда площадь составленной фигуры будет приближаться к площади криволинейной трапеции. Можно сказать, что площадь криволинейной трапеции равна пределу интегральных сумм, Sк.т. (щ.м.) или интегралу, т. е.,
Определение:
Интегралом функции f (х) от a до b называется предел интегральных сумм
= (щ.м.)
Формула Ньютона- Лейбница.
Помним, что предел интегральных сумм равен площади криволинейной трапеции, значит можно записать:
Sк.т. =(щ.м.)
С другой стороны, площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле
S к. т.(щ.м.)
Сравнивая эти формулы, получим:
= (щ.м.)Это равенство называется формулой Ньютона- Лейбница.
Для удобства вычислений формулу записывают в виде:
= = (щ.м.)Задания: (щ.м.)
1. Вычислить интеграл по формуле Ньютона- Лейбница: (проверяем по слайду 5 )
2. Составить интегралы по чертежу (проверяем по слайду 6 )
3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: у = х 3 , у = 0, х = 1, х = 2. (Слайд 7 )
Нахождение площадей плоских фигур (слайд 8 )
Как найти площадь фигур, которые не являются криволинейными трапециями?
Пусть даны две функции, графики которых вы видите на слайде. (щ.м.) Необходимо найти площадь закрашенной фигуры. (щ.м.) . Фигура, о которой идёт речь, является криволинейной трапецией? А как можно найти её площадь, пользуясь свойством аддитивности площади? Рассмотреть две криволинейные трапеции и из площади одной из них вычесть площадь другой (щ.м.)
Составим алгоритм нахождения площади по анимации на слайде:
- Построить графики функций
- Спроецировать точки пересечения графиков на ось абсцисс
- Заштриховать фигуру, полученную при пересечении графиков
- Найти криволинейные трапеции, пересечение или объединение которых есть данная фигура.
- Вычислить площадь каждой из них
- Найти разность или сумму площадей
Устное задание: Как получить площадь заштрихованной фигуры (рассказать при помощи анимации, слайд 8 и 9)
Домашнее задание: Проработать конспект, №353 (а), № 364 (а).
Список литературы
- Алгебра и начала анализа: учебник для 9-11 классов вечерней (сменной) школы/ под ред. Г.Д. Глейзера. - М: Просвещение, 1983.
- Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа: учебное пособие для 10-11 кл.сред.шк./ Башмаков М.И. - М: Просвещение, 1991.
- Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования/ М.И. Башмаков. - М: Академия, 2010.
- Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/ А.Н.Колмогоров. - М: Просвещение, 2010.
- Островский С.Л. Как сделать презентацию к уроку?/ C.Л. Островский. – М.: Первое сентября, 2010.
Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную осью Ох, кривой y=f(x) и двумя прямыми: х=а и х=Ь (рис. 85).
Возьмем произвольное значение х (только не а и не Ь). Дадим ему приращение h = dx и рассмотрим полоску, ограниченную прямыми АВ и CD, осью Ох и дугой BD, принадлежащей рассматриваемой кривой. Эту полоску будем называть элементарной полоской. Площадь элементарной полоски отличается от площади прямоугольника ACQB на криволинейный треугольник BQD, а площадь последнего меньше площади прямоугольника BQDM со сторонами BQ = =h=dx} QD=Ay и площадью, равной hAy = Ay dx. С уменьшением стороны h сторона Ду также уменьшается и одновременно с h стремится к нулю. Поэтому площадь BQDM является бесконечно малой второго порядка. Площадь элементарной полоски есть приращение площади, а площадь прямоугольника ACQB, равная АВ-АС==/(х) dx> есть дифференциал площади. Следовательно, саму площадь найдем, интегрируя ее дифференциал. В пределах рассматриваемой фигуры независимое переменное л: меняется от а до b, поэтому искомая площадь 5 будет равна
5= \f(x) dx.
(I)
Пример 1. Вычислим площадь, ограниченную параболой у - 1 -х*, прямыми X =--Fj-, х = 1 и осью О* (рис. 86).
у
Рис. 87.
Рис. 86.
1
Здесь f(x)= 1 - л?, пределы интегрирования а = - и £=1, поэтому
J [*-т]\-
-fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l-Ii-^
3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24*
Пример 2. Вычислим площадь, ограниченную синусоидой y = sinXy осью Ох и прямой (рис. 87). Применяя формулу (I), получаем
Л
2
S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf
Пример 3. Вычислим площадь, ограниченную дугой синусоиды ^у = sin jc, заключенной между двумя соседними точками пересечения с осью Ох (например, между началом координат и точкой с абсциссой я). Заметим, что из геометрических соображений ясно, что эта площадь будет в два раза больше площади предыдущего примера. Однако проделаем вычисления: я
5= | s\nxdx= [ - cosх}* - - cos я-(-cos 0)= 1 + 1 = 2.
о
Действительно, наше предположение оказалось справедливым.
Пример 4. Вычислить площадь, ограниченную синусоидой и ^ осью Ох на одном пе-х риоде (рис. 88).
Предварительные рас-рис суждения позволяют
предположить, что площадь получится в четыре раза больше, чем в пр. 2. Однако, произведя вычисления, получим «я
Г,*я
S - \ sin х dx = [ - cos х]0 =
= -cos 2л -(-cos 0) = - 1 + 1 = 0.
Этот результат требует разъяснений.
Для выяснения сути дела вычисляем еще площадь, ограниченную той же синусоидой у = sin л: и осью Ох в пределах от л до 2я. Применяя формулу (I), получаем
2л
$2л
sin хdx=[ - cosх]л =-cos 2я~}-с05я=- 1-1 =-2.
я
Таким образом, видим, что эта площадь получилась отрицательной. Сравнивая ее с площадью, вычисленной в пр. 3, получаем, что их абсолютные величины одинаковы, а знаки разные. Если применить свойство V (см. гл. XI, § 4), то получим
2л я 2л
J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0То, что получилось в этом примере, не является случайностью. Всегда площадь, расположенная ниже оси Ох, при условии, что независимое переменное изменяется слева направо, получается при вычислении с помощью интегралов отрицательной.
В этом курсе мы всегда будем рассматривать площади без знаков. Поэтому ответ в только что разобранном примере будет таким: искомая площадь равна 2 + |-2| = 4.
Пример 5. Вычислим площадь ОАВ, указанную на рис. 89. Эта площадь ограничена осью Ох,
параболой у = - хг и прямой у -
=-х+\.
Площадь криволинейной трапеции
Искомая площадь ОАВ состоит из двух частей: ОАМ и МАВ. Так как точка А является точкой пересечения параболы и
прямой, то ее координаты найдем, решая систему уравнений
3 2 У = тх.
(нам нужно найти только абсциссу точки А). Решая систему, находим л; = ~. Поэтому площадь приходится вычислять по частям, сначала пл. ОАМ, а затем пл. МАВ:
.... Г 3 2 , 3 Г хП 3 1 / 2 У 2 . QAM-^х = [замена:
] =
Значит, несобственный интеграл сходится и его значение равно .
Тема: Вычисление площади плоской фигуры с помощью определенного интеграла
Задачи: выучить определение и формулы нахождения площади криволинейной трапеции;
рассмотреть различные случаи нахождения площади криволинейной трапеции;
Уметь вычислять площадь криволинейной трапеции.
План:
Криволинейная трапеция.
Формулы вычисления площади криволинейной трапеции.
Криволинейной трапецией называется фигура, которая ограничена графиком непрерывной, неотрицательной функции f(x) на промежутке , отрезками прямых x=a и x=b, а также отрезком оси абсцисс между точками a и b.
Изображения криволинейных трапеций:
Теперь перейдём к возможным вариантам расположения фигур, площадь которых надо вычислить на координатной плоскости.
Первым
будет самый простой вариант (первый рисунок), обычная криволинейная трапеция
, как в определении. Здесь ничего не надо придумывать просто берём интеграл от a
до b
от функции f(x)
. Найдём интеграл - будем знать и площадь данной трапеции.
Во втором
варианте наша фигура будет ограничена не осью абсцисс, а другой функцией g(x)
. Поэтому, что бы найти площадь CEFD
, нам надо сначала найти площадь AEFB
(с помощью интеграла от f(x)
), потом найти площадь ACDB
(с помощью интеграла от g(x)
). И искомая площадь фигуры CEFD
, будет разница между первой и второй площадями криволинейной трапеции. Поскольку границы интегрирования здесь одинаковые, то это всё можно записать под одним интегралом (смотрите формулы под рисунком) всё зависит от сложности функций, в каком случае проще будет найти интеграл.
Третий
очень похож к первому, но только наша трапеция размещена, не над осью абсцисс
, а под ней. Поэтому здесь надо брать такой же интеграл, только со знаком минус, потому что значение интеграла будет отрицательным, а значение площади должно быть положительное. Если вместо функции f(x)
взять функцию –f(x)
, то её график будет такой же просто симметрически отображен относительно оси абсцисс.
И четвёртый
вариант, когда часть нашей фигуры находится над осью абсцисс, а часть под ней. Поэтому нам надо сначала найти площадь фигуры AEFB
, как в первом варианте, а потом площадь фигуры ABCD
, как в третьем варианте и потом сложить их. В итоге мы получим площадь фигуры DEFC
. Поскольку границы интегрирования здесь одинаковые, то это всё можно записать под одним интегралом (смотрите формулы под рисунком) всё зависит от сложности функций, в каком случае проще будет найти интеграл.
Вопросы для самопроверки:
Какая фигура называется криволинейной трапецией?
Как найти площадь криволинейной трапеции?