Как известно, существуют уравнения, содержащие две переменные, например, выражения вида:
Помимо числовых значений подобные выражения содержат два одночлена, включающие неизвестные переменные. Мы уже рассматривали в прошлых видео свойства подобных выражений, а также способы нахождения корней.
Любое уравнение с двумя переменными имеет ответ в виде пары чисел, которые являются значениями х и у. Чаще всего ответов бывает бесконечное множество, соответствующее двум множествам чисел х и у. Кроме того, подобные уравнения могут иметь всего лишь один корень либо не иметь ответа вообще. Но, в любом случае, если задано некое значение х, то при наличии действительного равенства найдется соответствующее значение у. Иными словами, ответ на уравнение с двумя переменными всегда представляет собой пару чисел.
Уравнение вида:
можно тождественно преобразовать, получив равносильное выражение:
у = 2,5 - 0,5х
Переместив слагаемые таким образом, чтобы оставить у с левой стороны, а х и все остальные одночлены - с правой, а также поделив обе части выражения на 2, мы получаем равносильное уравнение. Оно, по сути, является некоторой зависимостью между аргументом х и значением у. В данном выражении эта зависимость представлена аналитической линейной формой. Но её можно представить и графически, отобразив математический график в декартовой системе координат. Для этого значения аргумента рассчитывают по оси абсцисс, а значения функции - по оси ординат.
Иначе говоря, в случае уравнений с двумя переменными мы можем тождественно преобразовать их до равносильных удобных формул, после чего использовать пары корней, соответствующих верному решению этого уравнения, как координаты точек в Декартовой системе. Несколько решений уравнений дадут несколько точек, соединяемых в единый график - некую кривую линию.
В тоже время, зависимости, которые прослеживаются между переменными в одном уравнении, не всегда являются функциями в строгом определении этого понятия. К примеру, рассмотрим два уравнения:
С первого взгляда, оба равенства довольно похожи. Построим график зависимости для каждого из них. Как мы можем убедиться на видео, графики этих выражений достаточно сильно отличаются друг от друга. Если для уравнения у + х = 9 графиком является прямая линия, не проходящая через центр координат, то у 2 + х 2 = 9 имеет график в виде правильной окружности, описанной с центром в точке (0, 0). Если мы попытаемся при помощи графика определить значение у при заданном х, то увидим, что каждому аргументу соответствуют два значения у. Любой перпендикуляр, проведенный к оси абсцисс, в пределах круга обязательно пересечет круг в двух точках с одинаковым аргументом, но с противоположными значениями у. Математически это можно пояснить следующим образом:
х 2 + у 2 = а
у 2 = а - х 2
у = корень квадратный (а - х 2)
Любое отрицательное значение не может дать квадратных корней, а любое положительное всегда образует пару чисел в качестве ответа, одинаковых по значению, но противоположных по знаку. Иными словами, каждому значению у при подобной зависимости будет соответствовать два аргумента, что противоречит основному принципу функции.
Выражение вида у + х = 9, тем не менее, является обычной линейной функцией, так как вполне отвечает её требованиям. Любые уравнения с двумя переменными могут быть, а могут и не быть функциями.
Рассмотрим выражение абстрактного вида:
Любое равенство, соответствующее данной формуле, называется линейным уравнением с двумя переменными. Его графиком, в общем случае, является прямая линия, а корнями, как правило, - множество пар х и у. Исключения возможны при обнулении какого либо коэффициента - а, b, или свободного члена с. Если b = 0, но если а не равно 0, то ответами уравнения будет множество пар значений, у которых х будет всегда равен одному числу, а у - любому значению. Действительно, в уравнении:
х всегда равен 3, а у может быть равным любому числу, так как эта переменная все равно обнуляется.
Если а = 0, b = 0, но свободный член не равен 0, то уравнение не имеет верных решений, так как при любых раскладах нарушается принцип равенства. Графиком этого уравнения будет пустое множество. И, наконец, если все а, b, с = 0, то любое сочетание х и у является правильным решением уравнения, а график охватывает все числовое множество (плоскость Декартовой сети).
Для закрепления материала построим график уравнения:
Преобразуем выражение в линейное уравнение с двумя переменными:
1/3(х) + 0у = 1
0у = 1 - 1/3(х)
Графиком этого выражения будет прямая, перпендикулярная к оси абсцисс в точке (3, 0). При любых у значение аргумента всегда равно 3.
Тема: Линейная функция
Урок: Линейное уравнение с двумя переменными и его график
Мы познакомились с понятиями координатной оси и координатной плоскости. Мы знаем, что каждая точка плоскости однозначно задает пару чисел (х; у), причем первое число есть абсцисса точки, а второе - ордината.
Мы будем очень часто встречаться с линейным уравнением с двумя переменными, решением которого и есть пара чисел, которую можно представить на координатной плоскости.
Уравнение вида:
Где a, b, с - числа, причем 
Называется линейным уравнением с двумя переменными х и у. Решением такого уравнения будет любая такая пара чисел х и у, подставив которую в уравнение мы получим верное числовое равенство.
Пара чисел будет изображаться на координатной плоскости в виде точки.
У таких уравнений мы увидим много решений, то есть много пар чисел, и все соответствующие точки будут лежать на одной прямой.
Рассмотрим пример:
Чтобы найти решения данного уравнения нужно подобрать соответствующие пары чисел х и у:
Пусть , тогда исходное уравнение превращается в уравнение с одной неизвестной:
,
То есть, первая пара чисел, являющаяся решением заданного уравнения (0; 3). Получили точку А(0; 3)
Пусть . Получим исходное уравнение с одной переменной: 
, отсюда , получили точку В(3; 0)
Занесем пары чисел в таблицу:
Построим на графике точки и проведем прямую:
Отметим, что любая точка на данной прямой будет решением заданного уравнения. Проверим - возьмем точку с координатой и по графику найдем ее вторую координату. Очевидно, что в этой точке . Подставим данную пару чисел в уравнение. Получим 0=0 - верное числовое равенство, значит точка, лежащая на прямой, является решением.
Пока доказать, что любая точка, лежащая на построенной прямой является решением уравнения, мы не можем, поэтому принимаем это за правду и докажем позже.
Пример 2 - построить график уравнения:
Составим таблицу, нам достаточно для построения прямой двух точек, но возьмем третью для контроля:
В первой колонке мы взяли удобный , найдем у:
, ,
Во втором столбике мы взяли удобный , найдем х:
, , ,
Возьмем для проверки и найдем у:
, ,
Построим график:
Умножим заданное уравнение на два:
От такого преобразования множество решений не изменится и график останется таким же самым.
Вывод: мы научились решать уравнения с двумя переменными и строить их графики, узнали, что графиком подобного уравнения есть прямая и что любая точка этой прямой является решением уравнения
1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.
2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ
3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.
2. Портал для семейного просмотра ().
Задание 1: Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, № 960, ст.210;
Задание 2: Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, № 961, ст.210;
Задание 3: Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, № 962, ст.210;
Видеоурок «Уравнение с двумя переменными и его график» знакомит учеников с понятием уравнения с двумя переменными, его решением, дает представление о графике уравнения с двумя переменными, его построении. Задача видеоурока - наглядно представить учебный материал по данной теме, облегчая выполнение задач учителя на уроке и давая возможность ему более эффективно использовать время урока.
Возможности видеоурока больше, чем любого другого наглядного пособия. Возможность использовать анимационные эффекты, заменить учителя в демонстрации построения графиков, чертежей, выполнение голосового сопровождения позволяет повысить эффективность урока, более рационально распределять время, удерживать внимание учеников на изучаемом материале.
Видеоурок начинается с представления темы. Ученикам представляются примеры уравнений с двумя переменными: 3х+4у=16, х 2 =9-у 2 , ху-8=0. Далее дается представление о решениях уравнения с двумя переменными. Демонстрируется подстановка значений переменных х=4 и у=1, которые превращают уравнение 3х+4у=16 в справедливое равенство. После объяснения сути решения уравнения, вводится понятие решения уравнения, которое в данном случае представляет собой пару чисел (4;1), в котором на первом месте представлено значение переменной х, а на втором - значение переменной у. Далее для запоминания учениками на экран выведено определение, что такое решение уравнения, которым называется пара значений для переменных, обращающая уравнение в верное равенство.
Уточняется особенность уравнения, имеющего две переменные - в большинстве случаев они имеют бесконечное множество решений. Вводится понятие равносильных уравнений, представляющих собой уравнения, имеющие одинаковое множество решений. Отмечается одинаковый способ определения степени целого уравнения, имеющего две переменные, и целого уравнения, имеющего одну переменную. Также уточняется, что уравнение, содержащее две переменные, у которого в левой части - многочлен, а в правой - 0, имеет степень, равной степени данного многочлена. Способом определения степени уравнения остается замена его равносильным уравнением таким образом, чтобы в левой части уравнения остался многочлен стандартного вида, а в левой - нуль. Приведен пример такой замены: отмечается, что уравнения (х 2 -у) 2 =х 4 -1 и -2х 2 у+у 2 +1=0 равносильны. После приведения уравнения к виду, когда в левой части остается многочлен стандартного вида, можно установить, что данное уравнение - третьей степени.
Далее рассматриваются особенности графика уравнения, имеющего две переменные. В представленном определении графиком некоторого уравнения, имеющего две переменные, является множество точек на координатной плоскости, подставив координаты которых, можно получить верное равенство. Ученикам напоминается вид графиков, уже изученных ранее и представляющих собой график уравнения с двумя переменными. Это прямая, представляющая собой график линейного уравнения ax+by=c, где a≠0 и b≠0, а также парабола - график уравнения у=х 2 , гипербола - график ух=15.
Ученикам демонстрируется построение графика функции x 2 +y 2 =r 2 , где r - произвольное положительное число. Окружность, являющаяся графиком данного уравнения, представлена на экране. Доказывается, что любая точка окружности будет удовлетворять данному уравнению. Для этого отмечаем произвольную точку В(х;у). Длина опущенного на ось абсцисс перпендикуляра равна модулю ординаты данной точки, а отрезок, проведенный из данной точки в начало координат - радиусу. Длина отрезка от начала координат до точки пересечения перпендикуляра с осью абсцисс равна модулю абсциссы. Из полученного прямоугольного треугольника АОВ имеем равенство: АО 2 +АВ 2 =ВО 2 , то есть |x| 2 +|y| 2 =r 2 . Это равенство также справедливо без знака модуля.
Чтобы убедиться, что уравнение верно в любом положении В(х;у) на окружности, предлагается рассмотреть точку В, которая лежит в точке пересечения окружности с осью абсцисс. Отмечается, что в этом случае одна координата точкиу равняется радиусу, а вторая - нуль. Уравнение x 2 +y 2 =r 2 превращается в 0 2 +r 2 =r 2 , поэтому равенство также справедливо. При этом для всех точек, которые не лежат в области определения, их координаты не удовлетворяют уравнению окружности x 2 +y 2 =r 2 . Примеры таких точек отмечены на координатной плоскости. Общий вывод из рассмотренного построения следует, что уравнение окружности в записи х 2 +у 2 =r 2 верно для случаев, когда точки А(х;у) принадлежат области определения φ, О(0;0) - центр окружности, а r - радиус.
Далее рассматривается, как уравнение окружности зависит от положения ее центра. Отмечается, что при переносе центра на |а| единиц вправо или влево параллельно х, а также на |b| единиц вверх или вниз, параллельно у, получается окружность того же радиуса, только с центром в точке с новыми координатами О(a;b). Уравнением такой окружности будет (x-a) 2 +(y-b) 2 =r 2 .
Видеоурок «Уравнение с двумя переменными и его график» может быть использован как наглядное пособие на уроке алгебры по данной теме или заменить объяснение учителя по теме. Также данный материал может быть полезен при дистанционном обучении, поможет освоить тему ученикам самостоятельно.
Вы знаете, что каждой упорядоченной паре чисел соответствует определенная точка на координатной плоскости. Поскольку каждое решение уравнения с двумя переменными х и у - это упорядоченная пара чисел, то все его решения можно изобразить точками па координатной плоскости. В этих точек абсцисса - это значение переменной х, а ордината - соответствующее значение переменной у. Следовательно, получим график уравнения с двумя переменными.
Запомните!
Графиком уравнения с двумя переменными называется изображение на координатной плоскости всех точек, координаты которых удовлетворяют данное уравнение.
Посмотрите на рисунки 64 и 65. Вы видите график уравнения 0,5 x - у = 2, где х - четное одноцифрове число (рис. 64), и график уравнения х 2 + у 2 = 4 (рис. 65). Первый график содержит всего четыре точки, поскольку переменные х и у могут принимать только четыре значения. Второй же график является линией на координатной плоскости. Он содержит множество точек, поскольку переменная х может принимать любые значения от -2 до 2 и таких чисел - множество. Соответствующих значений в тоже множество. Они изменяются от 2 до 2.
На рисунке 66 показан график уравнения х + у = 4. В отличие от графика уравнения х 2 + у 2 = 4 (см. рис. 65), каждой абсцисі точек данного графика соответствует единственная ордината. А это означает, что на рисунке 66 изображен график функции. Убедитесь самостоятельно, что график уравнения на рисунке 64 также является графиком функции.
Обратите внимание
не у каждого уравнение его график является графиком функции, однако каждый график функции является графиком некоторого уравнения.
Уравнение x + y = 4 является линейным уравнением с двумя переменными. Решив его относительно у, получим: у = -х + 4. Полученное равенство можно понимать как формулу, которая задает линейную функцию у = -х + 4. Графиком такой функции является прямая. Итак, графиком линейного уравнения х + у = 4, который изображен на рисунке 66, есть прямая.
Можно ли утверждать, что график любого линейного уравнения с двумя переменными является прямой? Нет. Например, линейное уравнение 0 ∙ х + 0 ∙ у = 0 удовлетворяет любая пара чисел, а потому график этого уравнения содержит все точки координатной плоскости.
Выясним, что является графиком линейного уравнения с двумя переменными ах + bу + с = 0 в зависимости от значений коэффициентов а, b и с. Возможны такие случаи.
Пусть a ≠ 0, b ≠ 0, с ≠ 0. Тогда уравнение ах + by + с = 0 можно представить в виде:
Получили равенство, задающее линейную функцию у(х). Ее графику, а значит, и графиком данного уравнения является прямая, не проходящая через начало координат (рис. 67).
2. Пусть а ≠ 0, b ≠ 0, с = 0. Тогда уравнение ах + by + с = 0 приобретает вид ах + by + 0 = 0, или у = х.
Получили равенство, что задает прямую пропорциональность у(х). Ее графику, а значит, и графиком данного уравнения является прямая, проходящая через начало координат (рис. 68).
3. Пусть a ≠ 0, b = 0, с ≠ 0. Тогда уравнение ах + by + с = 0 приобретает вид ах + 0 ∙ у + с = 0, или х = -.
Получили равенство не задает функцию y(). Это равенство удовлетворяют такие пары чисел (х; у), в которых х = , а у - любое число. На координатной плоскости эти точки лежат на прямой, параллельной оси OY. Итак, графиком данного уравнения является прямая, параллельная оси ординат (рис. 69).
4. Пусть a ≠ 0, b = 0, с = 0. Тогда уравнение ах + by + с = 0 приобретает вид ах + 0 ∙ у + 0 = 0, или х = 0.
Это равенство удовлетворяют такие пары чисел (x; у), в которых х = 0, а у - любое число. На координатной плоскости эти точки лежат на оси OY. Итак, графиком данного уравнения с прямая, совпадающая с осью ординат.
5. Пусть а ≠ 0, b ≠ 0, с ≠0. Тогда уравнение ах + bу + с = 0 приобретает вид 0 ∙ х + by + с = 0, или у = -. Это равенство задает функцию y(x), что приобретает тех же значений для любых значений x, то есть является постоянной. Ее графику, а значит, и графиком данного уравнения является прямая, параллельная оси абсцисс (рис. 70).
6. Пусть а = 0, b ≠ 0, с = 0. Тогда уравнение ах + by + с = 0 приобретает вид 0 ∙ х + by + 0 = 0, или в = 0. Получили постоянную функцию у(х), в которой каждая точка графика лежит на оси ОХ. Итак, графиком данного уравнения является прямая, совпадающая с осью абсцисс.
7. Пусть a = 0, b = 0, с ≠ 0. Тогда уравнение ах + by + с = 0 приобретает вид 0 ∙ х + 0 ∙ у + с = 0, или 0 ∙ х + 0 ∙ в = с. А такое линейное уравнение не имеет решений, поэтому его график не содержит ни одной точки координатной плоскости.
8. Пусть а = 0, b = 0, с = 0. Тогда уравнение ах + by + с = 0 приобретает вид 0 ∙ х + 0 ∙ y + 0 = 0, или 0 ∙ х + 0 ∙ у = 0. А такое линейное уравнение имеет множество решений, поэтому его с графиком-вся координатная плоскость.
Можем подытожить полученные результаты.
График линейного уравнения с двумя переменными ах + bу +с = 0:
Является прямой, если а ≠ 0 или b ≠ 0;
Является всей плоскостью, если а = 0, b = 0 и с = 0;
Не содержит ни одной точки координатной плоскости, если а = 0, b = 0 и с ≠ 0.
Задача. Постройте график уравнения 2х - у - 3 = 0
Решения. Уравнения 2х - у - 3 = 0 является линейным. Поэтому его графиком является прямая у = 2х - 3. Для ее построения достаточно задать две точки, принадлежащие этой прямой. Составим таблицу значений у для двух произвольных значений х, например, для х = 0 и х = 2(табл. 27).
Таблица 27
На координатной плоскости обозначим точки с координатами (0; -3) и (2; 1) и проведем через них прямую (рис. 70). Эта прямая - искомый график уравнения 2х - у - 3 = 0.
Можно ли отождествлять график линейного уравнения с двумя переменными и график уравнения первой степени с двумя переменными? Нет, поскольку существуют линейные уравнения не являются уравнениями первой степени. Например, таковыми являются уравнение 0 ∙ х + 0 ∙ у + с = 0, 0 ∙ х + 0 ∙ у + 0 = 0.
Обратите внимание:
График линейного уравнения с двумя переменными может быть прямой, всей плоскостью или не содержать ни одной точки координатной плоскости;
График уравнения первой степени с двумя переменными всегда является прямой.
Узнайте больше
1. Пусть а ≠ 0. Тогда общее решение уравнения можно представить еще и в таком виде: Х = - у -. Получили линейную функцию х(у). Ее графиком является прямая. Для построения такого графика надо по-другому состковать оси координат: первой координатной осью (независимой переменной) считать ось ОУ, а второй (зависимой переменной)
Ось ОХ. Тогда ось ОУ удобно расположить горизонтально, а ось ОХ
Вертикально (рис. 72). График уравнения в этом случае тоже будет по-разному размещаться на координатной плоскости в зависимости отмечаний коэффициентов b и с. Исследуйте это самостоятельно.
2. Николай Николаевич Боголюбов (1909-1992) - выдающийся отечественный математик и механик, физик-теоретик, основатель научных школ по нелинейной механике и теоретической физике, академик АН УССР (1948) и АН СССР (с 1953). Родился в г. Нижний Новгород Российской империи. В 1921 г. семья переехала в Киев. После окончания семилетней школы Боголюбов самостоятельно изучал физику и математику и с 14-ти лет уже принимал участие в семинаре кафедры математической физики Киевского университета под руководством академика Д. А. Граве. В 1924 г. в 15-летнем возрасте Боголюбов написал первую научную работу, а в следующем году был принят в аспирантуру АНУРСР к академикам. М. Крылова, которую закончил в 1929 г., получив в 20 лет степень доктора математических наук.
В 1929 p. М.М. Боголюбов стал научным сотрудником Украинской академии наук, в 1934 начал преподавать в Киевском университете (с 1936 г. - профессор). С конца 40-х годов XX века. одновременно работал в России. Был директором Объединенного института ядерных исследований, а впоследствии - директором Математического института имени. А. Стеклова в Москве, преподавал в Московском государственном университете имени Михаила Ломоносова. В 1966 г. стал первым директором созданного им Института теоретической физики АН УССР в Киеве, одновременно (1963-1988) он - академик - секретарь Отдела математики АН СССР.
М.М. Боголюбов -дважды Герой Социалистического Труда (1969,1979), награжден Ленинской премией (1958), Государственной премией СССР (1947.1953,1984), Золотой медалью им. М. В. Ломоносова АН СССР (1985).
21 сентября 2009 г. на фасаде Красного корпуса Киевского национального университета имени Тараса Шевченко была открыта мемориальная доска гениальному ученому-академику Николаю Боголюбову в честь столетия со дня его рождения.
В 1992 г. Национальной академией наук Украины была основана Премия НАН Украины имени Н. М. Боголюбова, которая вручается Отделением математики НАН Украины за выдающиеся научные работы в области математики и теоретической физики. В честь ученого была названа малая планета «22616 Боголюбов».
ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ
1. Что является графиком линейного уравнения с двумя переменными?
2. В любом случае графиком уравнения с двумя переменными является прямая; плоскость?
3. В каком случае график линейного уравнения с двумя переменными проходит через начало координат?
РЕШИТЕ ЗАДАЧИ
1078 . На каком из рисунков 73-74 изображен график линейного уравнения с двумя переменными? Ответ объясните.
1079 . При каких значений коэффициентов а, b и с прямая ах + bу + с =0.
1) проходит через начало координат;
2) параллельна оси абсцисс;
3) параллельна оси ординат;
4) совпадает с осью абсцисс;
5) совпадает с осью ординат?
1080 . Не выполняя построения, определите, принадлежит графику линейного уравнения с двумя переменными 6х - 2у + 1 = 0 точка:
1)А(-1;2,5); 2)В(0;3,5); 3) С(-2; 5,5); 4)D(1,5;5).
1081 . Не выполняя построения, определите, принадлежит графику линейного уравнения с двумя переменными 3х + 3у - 5 = 0 точка:
1) A (-1; ); 2) B (0; 1).
1082
1) 2х + у - 4 = 0, если х = 0; 3) 3х + 3у - 1 = 0, если х = 2;
2) 4х - 2y + 5 = 0, если х = 0; 4)-5х - у + 6 = 0, если х = 2.
1083 . Для данного линейного уравнения с двумя переменными найдите значение у, соответствующее заданному значению х:
1)3х - у + 2 = 0, если х = 0; 2) 6х - 5y - 7 = 0, если х = 2.
1084
1) 2х + у - 4 = 0; 4) -х + 2у + 8 = 0; 7) 5х - 10 = 0;
2) 6х - 2y + 12 = 0; 5)-х - 2у + 4 = 0; 8)-2у + 4 = 0;
3) 5х - 10y = 0; 6)х - у = 0; 9) х - у = 0.
1085 . Постройте график линейного уравнения с двумя переменными:
1) 4х + у - 3 = 0; 4) 10х - 5у - 1 = 0;
2) 9х - 3у + 12 = 0; 5) 2х + 6 = 0;
3)-4х - 8у = 0; 6) у - 3 = 0.
1086 . Найдите координаты точки пересечения графика линейного уравнения с двумя переменными 2х - 3у - 18 = 0 с осью:
1) оси; 2) оси.
1087 . Найдите координаты точки пересечения графика линейного уравнения с двумя переменными 5х + 4у - 20 = 0 с осью:
1) оси; 2) оси.
1088 . На прямой, которая является графиком уравнения 0,5 х + 2у - 4 = 0, обозначено точку. Найдите ординату этой точки, если ее абсцисса равна:
5) 4(х - у) = 4 - 4у;
6) 7х - 2у = 2(1 + 3,5 х).
1094 . График линейного уравнения с двумя переменными проходит через точку А(3; -2). Найдите неизвестный коэффициент уравнения:
1) ах + 3у - 3 = 0;
2) 2х - by + 8 = 0;
3)-х + 3у - с = 0.
1095 . Определите вид четырехугольника, вершинами которого являются точки пересечения графиков уравнений:
х - y + 4 = 0, х - у - 4 = 0, -х - у + 4 = 0, -х - у - 4 = 0
1096 . Постройте график уравнения:
1) а - 4b + 1 = 0; 3) 3a + 0 ∙ b - 12 = 0;
2) 0 ∙ а + 2b + 6 = 0; 4) 0 ∙ a + 0 ∙ b + 5 = 0.
ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ
1097 . Составьте линейное уравнение с двумя переменными по следующим данным: 1) 3 кг конфет и 2 кг печенья стоят 120 грн; 2) 2 ручки дороже 5 карандашей на 20 грн. Постройте график составленного уравнения.
1098 . Постройте график уравнения к задаче о: 1) количество девушек и парней в вашем классе; 2) покупку тетрадей в линейку и в клеточку.
ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ
1099. Турист прошел 12 км за час. За сколько часов турист преодолеет расстояние 20 км с такой же скоростью движения?
1100. Какой должна быть скорость поезда по новому расписанию, чтобы он мог проехать расстояние между двумя станциями за 2,5 ч, если согласно старого расписания, двигаясь со скоростью 100 км/ч он преодолевал ее за 3 ч?
