В этой теме мы рассмотрим метод восстановления функции по ее полному дифференциалу, дадим примеры задач с полным разбором решения.

Бывает так, что дифференциальные уравнения (ДУ) вида P (x , y) d x + Q (x , y) d y = 0 могут содержать в левых частях полные дифференциалы некоторых функций. Тогда мы можем найти общий интеграл ДУ, если предварительно восстановим функцию по ее полному дифференциалу.

Пример 1

Рассмотрим уравнение P (x , y) d x + Q (x , y) d y = 0 . В записи левой его части содержится дифференциал некоторой функции U (x , y) = 0 . Для этого должно выполняться условие ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x .

Полный дифференциал функции U (x , y) = 0 имеет вид d U = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y . С учетом условия ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x получаем:

P (x , y) d x + Q (x , y) d y = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y

∂ U ∂ x = P (x , y) ∂ U ∂ y = Q (x , y)

Преобразовав первое уравнение из полученной системы уравнений, мы можем получить:

U (x , y) = ∫ P (x , y) d x + φ (y)

Функцию φ (y) мы можем найти из второго уравнения полученной ранее системы:
∂ U (x , y) ∂ y = ∂ ∫ P (x , y) d x ∂ y + φ y " (y) = Q (x , y) ⇒ φ (y) = ∫ Q (x , y) - ∂ ∫ P (x , y) d x ∂ y d y

Так мы нашли искомую функцию U (x , y) = 0 .

Пример 2

Найдите для ДУ (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y = 0 общее решение.

Решение

P (x , y) = x 2 - y 2 , Q (x , y) = - 2 x y

Проверим, выполняется ли условие ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x:

∂ P ∂ y = ∂ (x 2 - y 2) ∂ y = - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (- 2 x y) ∂ x = - 2 y

Наше условие выполняется.

На основе вычислений мы можем сделать вывод, что левая часть исходного ДУ является полным дифференциалом некоторой функции U (x , y) = 0 . Нам нужно найти эту функцию.

Так как (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y является полным дифференциалом функции U (x , y) = 0 , то

∂ U ∂ x = x 2 - y 2 ∂ U ∂ y = - 2 x y

Интегрируем по x первое уравнение системы:

U (x , y) = ∫ (x 2 - y 2) d x + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y)

Теперь дифференцируем по y полученный результат:

∂ U ∂ y = ∂ x 3 3 - x y 2 + φ (y) ∂ y = - 2 x y + φ y " (y)

Преобразовав второе уравнение системы, получаем: ∂ U ∂ y = - 2 x y . Это значит, что
- 2 x y + φ y " (y) = - 2 x y φ y " (y) = 0 ⇒ φ (y) = ∫ 0 d x = C

где С – произвольная постоянная.

Получаем: U (x , y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + C . Общим интегралом исходного уравнения является x 3 3 - x y 2 + C = 0 .

Разберем еще один метод нахождения функции по известному полному дифференциалу. Он предполагает применение криволинейного интеграла от фиксированной точки (x 0 , y 0) до точки с переменными координатами (x , y) :

U (x , y) = ∫ (x 0 , y 0) (x , y) P (x , y) d x + Q (x , y) d y + C

В таких случаях значение интеграла никак не зависит от пути интегрирования. Мы можем взять в качестве пути интегрировании ломаную, звенья которой располагаются параллельно осям координат.

Пример 3

Найдите общее решение дифференциального уравнения (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = 0 .

Решение

Проведем проверку, выполняется ли условие ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x:

∂ P ∂ y = ∂ (y - y 2) ∂ y = 1 - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (x - 2 x y) ∂ x = 1 - 2 y

Получается, что левая часть дифференциального уравнения представлена полным дифференциалом некоторой функции U (x , y) = 0 . Для того, чтобы найти эту функцию, необходимо вычислить криволинейный интеграл от точки (1 ; 1) до (x , y) . Возьмем в качестве пути интегрирования ломаную, участки которой пройдут по прямой y = 1 от точки (1 , 1) до (x , 1) , а затем от точки (x , 1) до (x , y) :

∫ (1 , 1) (x , y) y - y 2 d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ (1 , 1) (x , 1) (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y + + ∫ (x , 1) (x , y) (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ 1 x (1 - 1 2) d x + ∫ 1 y (x - 2 x y) d y = (x y - x y 2) y 1 = = x y - x y 2 - (x · 1 - x · 1 2) = x y - x y 2

Мы получили общее решение дифференциального уравнения вида x y - x y 2 + C = 0 .

Пример 4

Определите общее решение дифференциального уравнения y · cos x d x + sin 2 x d y = 0 .

Решение

Проверим, выполняется ли условие ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x .

Так как ∂ (y · cos x) ∂ y = cos x , ∂ (sin 2 x) ∂ x = 2 sin x · cos x , то условие выполняться не будет. Это значит, что левая часть дифференциального уравнения не является полным дифференциалом функции. Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными и для его решения подходят другие способы решения.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Определение 8.4. Дифференциальное уравнение вида

где
называется уравнением в полных дифференциалах.

Заметим, что левая часть такого уравнения есть полный дифференциал некоторой функции
.

В общем случае, уравнение (8.4) можно представить в виде

Вместо уравнения (8.5) можно рассматривать уравнение

,

решение которого есть общим интегралом уравнения (8.4). Таким образом, для решения уравнения (8.4) необходимо найти функцию
. В соответствии с определением уравнения (8.4), имеем

(8.6)

Функцию
будем отыскивать, как функцию, удовлетворяющую одному из этих условий (8.6):

где - произвольная функция, не зависящая от.

Функция
определяется так, чтобы выполнялось второе условие выражения (8.6)

(8.7)

Из выражения (8.7) и определяется функция
. Подставляя ее в выражение для
и получают общий интеграл исходного уравнения.

Задача 8.3. Проинтегрировать уравнение

Здесь
.

Следовательно, данное уравнение относится к типу дифференциальных уравнений в полных дифференциалах. Функцию
будем отыскивать в виде

.

С другой стороны,

.

В ряде случаев условие
может не выполняться.

Тогда такие уравнения к рассматриваемому типу приводятся умножением на так называемый интегрирующий множитель, который, в общем случае, является функцией только или.

Если у некоторого уравнения существует интегрирующий множитель, зависящий только от , то он определяется по формуле

где отношение должно быть только функцией.

Аналогично, интегрирующий множитель, зависящий только от , определяется по формуле

где отношение
должно быть только функцией.

Отсутствие в приведенных соотношениях, в первом случае переменной , а во втором - переменной, являются признаком существования интегрирующего множителя для данного уравнения.

Задача 8.4. Привести данное уравнение к уравнению в полных дифференциалах.

.

Рассмотрим отношение:

.

Тема 8.2. Линейные дифференциальные уравнения

Определение 8.5 . Дифференциальное уравнение
называется линейным, если оно линейно относительно искомой функции, ее производнойи не содержит произведения искомой функции и ее производной.

Общий вид линейного дифференциального уравнения представляется следующим соотношением:

(8.8)

Если в соотношении (8.8) правая часть
, то такое уравнение называется линейным однородным. В случае, когда правая часть
, то такое уравнение называется линейным неоднородным.

Покажем, что уравнение (8.8) интегрируется в квадратурах.

На первом этапе рассмотрим линейное однородное уравнение.

Такое уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Действительно,

;

/

Последнее соотношение и определяет общее решение линейного однородного уравнения.

Для отыскания общего решения линейного неоднородного уравнения применяется метод вариации производной постоянной. Идея метода состоит в том, что общее решение линейного неоднородного уравнения в том же виде, что и решение соответствующего однородного уравнения, однако произвольная постоянная заменяется некоторой функцией
, подлежащей определению. Итак, имеем:

(8.9)

Подставляя в соотношение (8.8) выражения, соответствующие
и
, получим

Подставляя последнее выражение в соотношение (8.9), получают общий интеграл линейного неоднородного уравнения.

Таким образом, общее решение линейного неоднородного уравнения определяется двумя квадратурами: общего решения линейного однородного уравнения и частного решения линейного неоднородного уравнения.

Задача 8.5. Проинтегрировать уравнение

Таким образом, исходное уравнение относится к типу линейных неоднородных дифференциальных уравнений.

На первом этапе найдем общее решение линейного однородного уравнения.

;

На втором этапе определим общее решение линейного неоднородного уравнения, которое отыскивают в виде-

,

где
- функция, подлежащая определению.

Итак, имеем:

Подставляя соотношения для ив исходное линейное неоднородное уравнение получим:

;

;

.

Общее решение линейного неоднородного уравнения будет иметь вид:

.

Определение: Уравнение вида

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0, (9)

где левая часть представляет собой полный дифференциал некоторой функции двух переменных, называется уравнением в полных дифференциалах.

Обозначим эту функцию двух переменных через F(x,y). Тогда уравнение (9) можно переписать в виде dF(x,y) = 0, а это уравнение имеет общее решение F(x,y) = C.

Пусть дано уравнение вида (9). Для того чтобы узнать, является ли оно уравнением в полных дифференциалах, нужно проверить, является ли выражение

P(x,y)dx + Q(x,y)dy (10)

полным дифференциалом некоторой функции двух переменных. Для этого необходимо проверить выполнение равенства

Допустим, что для данного выражения (10) равенство (11) выполняется в некоторой односвязной области (S) и, следовательно, выражение (10) является полным дифференциалом некоторой функции F(x,y) в (S).

Рассмотрим следующий способ нахождения этой первообразной. Необходимо найти такую функцию F(x,y), чтобы

где функция (у) будет определена ниже. Из формулы (12) тогда следует, что

во всех точках области (S). Теперь подберем функцию (у) так, чтобы имело место равенство

Для этого перепишем нужное нам равенство (14), подставив вместо F(x,y) ее выражение по формуле (12):

Произведем дифференцирование по у под знаком интеграла (это можно делать так как P(x,y) и - непрерывные функции двух переменных):

Так как по (11) , то, заменяя на под знаком интеграла в (16), имеем:

Проинтегрировав по у, найдем саму функцию (у), которая построена так, что выполняется равенство (14). Используя равенства (13) и (14), видим, что

в области (S). (18)

Пример 5. Проверить, является ли данное дифференциальное уравнение уравнением в полных дифференциалах и решить его.

Это дифференциальное уравнение в полных дифференциалах. В самом деле, обозначая, убеждаемся в том, что

а это есть необходимое и достаточное условие того, что выражение

P(x,y)dx+Q(x,y)dy

является полным дифференциалом некоторой функции U(x,y). При этом - непрерывные в R функции.

Следовательно, чтобы проинтегрировать данное дифференциальное уравнение, нужно найти такую функцию, для которой левая часть дифференциального уравнения будет полным дифференциалом. Пусть такой функцией будет U(x,y), тогда

Интегрируя левую и правую части по x, получим:

Чтобы найти ц(y), используем тот факт, что

Подставляя найденное значение ц(y) в (*), окончательно получим функцию U(x,y):

Общий интеграл исходного уравнения имеет вид

Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка (продолжение).

Линейные дифференциальные уравнения

Определение: Линейным уравнением первого порядка называется уравнение вида

y" + P(x)y = f(x), (21)

где P(x) и f(x) - непрерывные функции.

Название уравнения объясняется тем, что производная y" - линейная функция от у, то есть если переписать уравнение (21) в виде y" = - P(x) +f(x), то правая часть содержит у только в первой степени.

Если f(x) = 0, то уравнение

yґ+ P(x) y = 0 (22)

называется линейным однородным уравнением. Очевидно, что однородное линейное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными:

y" +P(x)y = 0; ,

Если f(x) ? 0, то уравнение

yґ+ P(x) y = f(x) (23)

называется линейным неоднородным уравнением.

В общем случае переменные в уравнении (21) разделить нельзя.

Уравнение (21) решается следующим образом: будем искать решение в виде произведения двух функций U(x) и V(x):

Найдем производную:

y" = U"V + UV" (25)

и подставим эти выражения в уравнение (1):

U"V + UV" + P(x)UV = f(x).

Сгруппируем слагаемые в левой части:

U"V + U = f(x). (26)

Наложим условие на один из множителей (24), а именно, предположим, что функция V(x) такова, что она обращает в тождественный нуль выражение, стоящее в квадратных скобках в (26), т.е. что она является решением дифференциального уравнения

V" + P(x)V = 0. (27)

Это уравнение с разделяющимися переменными, находим из него V(x):

Теперь найдем функцию U(x) такую, чтобы при уже найденной функции V(x) произведение U V было решением уравнения (26). Для этого надо, чтобы U(x) была решением уравнения

Это уравнение с разделяющимися переменными, поэтому

Подставляя найденные функции (28) и (30) в формулу (4), получаем общее решение уравнения (21):

Таким образом, рассмотренный метод (способ Бернулли) сводит решение линейного уравнения (21) к решению двух уравнений с разделяющимися переменными.

Пример 6. Найти общий интеграл уравнения.

Это уравнение не является линейным относительно y и y", но оно оказывается линейным, если считать искомой функцией x, а аргументом y. Действительно, переходя к, получаем

Для решения полученного уравнения воспользуемся способом подстановки (Бернулли). Будем искать решение уравнения в виде x(y)=U(y)V(y), тогда. Получаем уравнение:

Выберем функцию V(y) так, чтобы. Тогда

Имеющее стандартный вид $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$, в котором левая часть представляет собой полный дифференциал некоторой функции $F\left(x,y\right)$, называется уравнением в полных дифференциалах.

Уравнение в полных дифференциалах всегда можно переписать в виде $dF\left(x,y\right)=0$, где $F\left(x,y\right)$ -- такая функция, что $dF\left(x,y\right)=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$.

Проинтегрируем обе части уравнения $dF\left(x,y\right)=0$: $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $; интеграл от нулевой правой части равен произвольной постоянной $C$. Таким образом, общее решение данного уравнения в неявной форме имеет вид $F\left(x,y\right)=C$.

Для того, чтобы данное дифференциальное уравнение представляло собой уравнение в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие $\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial Q}{\partial x} $. Если указанное условие выполнено, то существует такая функция $F\left(x,y\right)$, для которой можно записать: $dF=\frac{\partial F}{\partial x} \cdot dx+\frac{\partial F}{\partial y} \cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$, откуда получаем два соотношения: $\frac{\partial F}{\partial x} =P\left(x,y\right)$ и $\frac{\partial F}{\partial y} =Q\left(x,y\right)$.

Интегрируем первое соотношение $\frac{\partial F}{\partial x} =P\left(x,y\right)$ по $x$ и получаем $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$, где $U\left(y\right)$ -- произвольная функция от $y$.

Подберем её так, чтобы удовлетворялось второе соотношение $\frac{\partial F}{\partial y} =Q\left(x,y\right)$. Для этого продифференцируем полученное соотношение для $F\left(x,y\right)$ по $y$ и приравняем результат к $Q\left(x,y\right)$. Получаем: $\frac{\partial }{\partial y} \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\right)=Q\left(x,y\right)$.

Дальнейшее решение таково:

• из последнего равенства находим $U"\left(y\right)$;
• интегрируем $U"\left(y\right)$ и находим $U\left(y\right)$;
• подставляем $U\left(y\right)$ в равенство $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$ и окончательно получаем функцию $F\left(x,y\right)$.

Находим разность:

Интегрируем $U"\left(y\right)$ по $y$ и находим $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$.

Находим результат: $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)=5\cdot x\cdot y^{2} +3\cdot x\cdot y-2\cdot y$.

Записываем общее решение в виде $F\left(x,y\right)=C$, а именно:

Находим частное решение $F\left(x,y\right)=F\left(x_{0} ,y_{0} \right)$, где $y_{0} =3$, $x_{0} =2$:

Частное решение имеет вид: $5\cdot x\cdot y^{2} +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$.

Студенты ВУЗ-ов частенько ищут информацию "Как найти решение уравнения в полных дифференциалах?". Из этого урока Вы получите полную инструкцию плюс готовые решения. Сначала краткое ознакомление - что такое уравнение в полных дифференциалах? Как искать решение уравнения на полный дифференциал?
Далее разбор готовых примеров, после которого возможно у Вас не останется вопросов по данной теме.

Уравнение в полных дифференциалах

Определение 1. Уравнение вида M(x,y)dx+N(x,y)dx=0 называется уравнением в полных дифференциалах , если зависимость перед знаком равенства является полным дифференциалом некоторой функции двух переменных u(x,y) , то есть справедливая формула
du(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dx. (1)
Таким образом, первоначальное уравнение по содержанию означает равенство нулю полного дифференциала функции
du(x,y)=0 .
Интегрируя дифференциал получим общий интеграл ДУ в виде
u(x,y)=С. (2)
При вычислениях, как правило, постоянную возлагают равной нулю.
Пред вычислениями всегда возникает вопрос "Как проверить что заданное ДУ является уравнением в полных дифференциалах?"
На этот вопрос дает ответ следующее условие.

Необходимое и достаточное условие полного дифференциала

Необходимым и достаточным условием полного дифференциала является равенство между собой частных производных
(3)
При решении дифференциальных уравнений его проверяют в первую очередь, чтобы идентифицировать имеем ли уравнение в полных дифференциалах или возможно другое.
По содержанию это условие означает что смешанные производные функции равны между собой.
В формулах учитывая зависимости
(4)
необходимое и достаточное условие существования полного дифференциала можем записать в виде

Приведенный критерий и применяют при проверке уравнения на соответствие полному дифференциалу, хотя при изучении данной темы преподаватели не зададут Вам другого типа уравнений.

Алгоритм решения уравнения в полных дифференциалах

С обозначений (4) частных производных полного дифференциала функции следует, что u(x,y) мы можем найти интегрированием

Эти формулы дают выбор при вычислениях, поэтому для интегрирования выбирают ту частную производную, интеграл от которой легче найти на практике.
Далее второй важный момент - неопределенный интеграл представляет собой первообразную то есть "+ С" , которую следует определить.
Поэтому, если интегрируем частную производную M(x,y) по "икс" то сталая зависит от y и наоборот - если интегрируем N(x,y) по y то сталая зависима от "икс" .
Далее чтобы определить постоянную берут производную от u(x,y) по другой переменной чем та, по которой производили интегрирование и приравнивают к второй частичной производной.
В формулах это будет выглядеть следующим образом

Как правило некоторые слагаемые упрощаются и получим уравнение на производную постоянной. Для первого из уравнений получим

Окончательно общий интеграл после определения постоянной имеет вид

В симметричной форме получим ответ и для другого уравнения.
Запись только на вид сложная, на самом деле на практике все выглядит значительно проще и понятнее. Проанализируйте следующие задачи на полные дифференциалы.

Готовые ответы на уравнение в полных дифференциалах

Пример 1.

Решение: Левая часть уравнения является полным дифференциалом некоторой функции , поскольку выполняется условие

Отсюда записываем частную производную функции двух переменных от "икс"

и интегрированием находим ее вид

Чтобы доопределить постоянную находим частную производную функции по "y" и приравниваем со значением в уравнении

Подобные слагаемые в правой и левой части сокращаем, после чего постоянную находим интегрированием

Теперь имеем все величины для записи общего решения дифференциального уравнения в виде

Как можно убедиться, схема решения уравнений в полных дифференциалах не сложная и ее под силу выучить каждому. Важное значение имеют множители при дифференциалах, поскольку их приходится интегрировать и дифференцировать чтобы найти решение.

Пример 2. (6.18) Найти интеграл дифференциального уравнения

Решение: По теории левая часть уравнения должна быть полным дифференциалом некоторой функции двух переменных u(x,y), при этом проверяем выполняется ли условие

Отсюда берем частную производную и через интеграл находим функцию

Вычисляем частную производную функции двух переменных по y и приравниваем к правой стороне дифференциального уравнения.

Производная выражается зависимостью

С учетом постоянной получили в виде

На этом вычисления данного примера завершено.

Пример 3. (6.20) Решить дифференциальное уравнение

Решение: Левая часть уравнения будет полным дифференциалом некоторой функции двух переменных u(x; y) , если будет выполняться условие

Отсюда начинаем решать уравнения, а вернее интегрирование одной из частных производных

Далее находим производную от полученной функции по переменной y и приравниваем к правой стороне дифференциальной зависимости

Это позволяет найти константу, как функцию от y . Если начинать раскрывать дифференциальную зависимость с правой стороны, то получим что константа зависит от x . при этом не изменится и для заданного уравнения имеет вид

На этом пример решен.Общее решение дифференциального уравнения можем записать формулой

Для закрепления тематики просим самостоятельно проверить что данные уравнения являются уравнениями в полных дифференциалах и решить их:
Здесь Вам и корневые функции, тригонометрические, экспоненты, логарифмы, одним словом - все что может ожидать Вас на модулях и экзаменах.
После этого Вам станет гораздо проще решать такого типа уравнения.
Из следующей статьи Вы познакомитесь с уравнениями вида
M(x,y)dx+N(x,y)dx=0
которые достаточно подобные уравнению в полных дифференциалах, однако в них не выполняется условие равенства частных производных. Их вычисляют поиском интегрирующего множителя, умножая на который приведенное уравнение становится уравнением в полных дифференциалах.