Положение об олимпиаде
Интернет-олимпиада — соревнование по решению задач повышенной сложности, которое проводится через Интернет.
Приглашаются все желающие - учащиеся 1-9 классов.
Продолжительность олимпиады - 1 час. .
Все олимпиады бесплатны.
М Положение о международных математических олимпиадах 2016-2017. Материал для учителей. СПб АППО, Nord Education, МетаШкола
Как настроить компьютер
Часовой пояс, дата и время
Для того, чтобы для Вас олимпиада началась вовремя, необходимо настроить часовой пояс, дату и время.
Браузер
Поддерживаются браузеры Safari, выпущенные для OS X и iOS.
Показ формул
Двое детей за одним компьютером
Как принять участие
Дипломы и сертификаты
Дипломами I степени награждаются участники, набравшие 7 баллов - победители олимпиады.
Дипломами II и III степени награждаются участники, набравшие 6 и 5 баллов, соответственно, - призёры олимпиады.
Сертификатами награждаются участники, отправившие хотя бы один правильный ответ, но не получившие диплом.
Для того, чтобы увидеть свой диплом или сертификат, нужно войти в МетаШколу с логином и паролем и перейти по ссылке Портфолио.
В Портфолио есть советы по печати дипломов и сертификатов, а также советы по сохранению дипломов и сертификатов на жестком диске в виде картинки.
По электронной почте или обычной почтой дипломы и сертификаты не высылаются.
Оргкомитет олимпиады
кандидат педагогических наук, заведующий кафедрой математики и информатики
доцент кафедры математики и информатики, заслуженный учитель
Nord Education,
Espoo, Finland
Физико-математический лицей № 366, Санкт-Петербург
учитель математики
кандидат педагогических наук, руководитель проекта
Как найти свой диплом/сертификат
Для того, чтобы увидеть свой диплом или сертификат, нужно войти в МетаШколу со своим логином и паролем и перейти по ссылке Портфолио .
По электронной почте или обычной почтой дипломы или сертификаты не высылаются.
Как распечатать/сохранить диплом/сертификат
Диплом и сертификат можно распечатать на принтере, для этого нужно войти в МетаШколу со своим логином и паролем и перейти по ссылке Портфолио .
Если цветного принтера под рукой нет, нужно сохранить диплом (сертификат) как изображение. Для этого нужно:
- Войти в МетаШколу, используя браузер Mozilla Firefox ;
- Зайти в Портфолио , открыть диплом (сертификат или Благодарность);
- Кликнуть по нему правой кнопкой мышки;
- Выбрать в меню команду Сохранить изображение как .
Полученный файл можно распечатать в любом фотоателье или копировальном центре.
Информация для учителей
Учитель получает Благодарность Академии постдипломного педагогического образования Санкт-Петербурга и МетаШколы за подготовку трех и более победителей и призеров одной олимпиады.
Для того, чтобы посмотреть или распечатать Благодарность:
- учитель должен сообщить свой логин своим ученикам - победителям и призёрам (можно всем участникам);
- ученики должны перейти по ссылке Мой учитель и ввести там логин своего учителя.
После выполнения этих шагов, Благодарность появится в Портфолио автоматически.
Учитель может проверить, кто указал его в качестве учителя, перейдя по ссылке Мои ученики .
По электронной почте или обычной почтой Благодарности не высылаются.
Апелляция
Для подачи апелляции необходимо войти в МетаШколу со своим логином и паролем, перейти по ссылке Поддержка/Сообщения и написать в Службу поддержки . При этом обязательно назвать контрольное число , которое появляется в диалоге (на картинке) и дублируется внизу, сразу под заданиями.
Внимание! Контрольное число у каждого свое!
Если Вы знаете свое контрольное число, значит, Вы успели до окончания олимпиады и Ваши результаты будут засчитаны.
Апелляции по телефону и по электронной почте не принимаются.
Апелляция подается сразу после завершения олимпиады. Если олимпиада завершилась после 22 часов по местному времени, апелляция подается утром следующего дня.
Срок рассмотрения апелляции - сутки.
Наивысшей ступенью «карьерной» лестницы являются олимпиады международного уровня. Успешное выступление на межнациональных соревнованиях дает право поступить практически в любой вуз по своему выбору. Кроме того, и будущие работодатели подыскивают перспективные кадры среди призеров таких мероприятий.
Поскольку отбор участников на международные олимпиады школьников очень жесткий, мы рассмотрим и другие состязания с интернациональным составом, где могут принять участие российские школьники. В нашей подборке лишь те олимпиады, которые имеют официальный статус и участие в которых бесплатно.
Международная математическая олимпиада (IMO, International Mathematical Olympiad)
Старейшая из предметных межнациональных олимпиад. Впервые она прошла в 1959 году в Румынии, после этого в 60-годах прошлого столетия начали проводиться подобные соревнования и по другим предметам.
Каждую страну в математической олимпиаде представляет команда не более чем из шести человек. В течение двух дней участники должны решить шесть задач из разных областей школьной математики. В основном это геометрия, алгебра, теория чисел. Стоит отметить, что задания не требуют знаний высшей математики. Традиционно сильнейшими считаются команды из Китая, России, США и Южной Кореи.
Место проведения: в 2016 году олимпиада пройдет в Гонконге, в 2017 в Бразилии.
Как стать участником: участие в олимпиадах такого уровня, как правило, командное. Команда формируется из победителей всероссийской олимпиады. Важно, что в состав команды могут войти молодые люди не старше 20 лет и не являющиеся студентами какого-либо вуза.
Бонусы: поступление вне конкурса в любой вуз на одно направление, соответствующее профилю олимпиады. Кроме того, страны, где проводятся состязания, и страны-участницы сами вправе назначить дополнительные призы для победителей в денежном эквиваленте.
Международная математическая олимпиада «Формула Единства» / «Третье тысячелетие»
Если попасть в сборную IMO не получилось, можно попробовать свои силы в этой олимпиаде, которая проводится Фондом Эйлера совместно с Санкт-Петербургским государственным университетом. В 2015/16 учебных годах олимпиада была включена в российский перечень олимпиад школьников. В прошлом году в ней приняло участие около 5000 школьников из 13 стран.
Сроки проведения: олимпиада проводится в два этапа, первый из которых (отборочный) проходит осенью, а второй (заключительный) - в феврале. Отборочный этап проводится в заочной форме, заключительный этап проводится в очной форме на региональных площадках.
Как стать участником: участвовать в олимпиаде могут школьники 5-11 классов, как из России, так и учащиеся из всех стран мира аналогичных возрастных групп.
Бонусы: призёры олимпиады получают приглашение в дистанционный математический кружок при СПбГУ и в международный летний лагерь «Формула Единства».
Международная олимпиада по физике (IPhO)
Считается наиболее авторитетной среди подобного рода соревнований. Одной из причин создания соревнований стал успех международных математических олимпиад (ММО) (с 1959) и опыт, накопившийся в их проведении. В отличие от математической олимпиады здесь помимо теоретических задач участники решают также экспериментальные.
Сроки и место проведения: в 2016 году физики будут соревноваться в Швейцарии в Лихтенштейне. В 2017 году олимпиада пройдет в Молдове.
Как стать участником: отбор участников в России традиционно проводится в форме учебно-соревновательных сборов, куда приглашаются победители и призёры Всероссийской олимпиады школьников по физике. Сборы проходят на базе МФТИ и организуются Лабораторией по работе с одаренными детьми. В результате нескольких отборочных туров формируется сборная команда России на IPhO, состоящая из пяти человек.
Интернет-олимпиада по физике для школьников
В состав команды можно попасть, став победителем во всероссийской химической олимпиаде. Состязания состоят из двух туров - экспериментального и теоретического. В отличие от остальных олимпиад эта отличается тем, что официальный зачет в ней индивидуальный.
Место и дата проведения: в 2016 году пройдет в Пакистане, в 2017 году в Таиланде.
Международная Менделеевская олимпиада (ММО)
Участвуют в ней учащиеся из стран СНГ, Балтии и Европы. ММО является преемницей Всесоюзной химической олимпиады. В отличие от Всемирной олимпиады по химии (IChO), круг разделов химии, которые могут быть представлены на олимпиаде, не сужается предварительной публикацией тренировочного комплекта заданий. Другим важным отличием является то, что комплект заданий готовится методической комиссией, имеющей относительно постоянный состав, что позволяет поддерживать сложность заданий на постоянном достаточно высоком уровне.
Дата и место проведения: апрель-май 2016 года предварительно в Молдове.
Как стать участником: побороться за звание лучшего молодого химика в рамках Менделеевской олимпиады могут лишь победители национальных соревнований.
Международная олимпиада по информатике (IOI)
Проводится с 1989 года, и с того времени количество стран-участниц возросло с 13 до 83. В ходе олимпийских туров каждый участник решает задачи самостоятельно, пользуясь одним компьютером. Строго запрещается общение с другими участниками и использование учебной литературы.
Обычно для решения задачи необходимо написать программу на языке C, C++ или Pascal и отослать её перед окончанием пятичасового соревнования.
Бонусы: победители IOI награждаются золотыми медалями и определяются из числа первых по рейтингу участников, но не более 8% от заявленного состава. Первый по рейтингу является абсолютным чемпионом мира и награждается специальным призом IOI. Золотые медалисты признаются всеми странами мира лучшими юными специалистами по информатике. Следующие по рейтингу участники награждаются серебряными и бронзовыми медалями в соответствии с квотами. Всего медалями награждаются половина участников IOI.
Задача 1.
Пусть O - центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC, Ap - высота.
Докажите, что если ∠ BCA ≥ ∠ ABC + 30, то ∠ CAB + ∠ COp < 90.
Решение:
Решение 1.
Пусть α = ∠ CAB, β = ∠ ABC, γ = ∠ BCA и δ = ∠ COp.
Пусть точки K и p симметричны точкам A и p соответственно относительно серединного перпендикуляра к отрезку BC. Обозначим через R радиус описанной окружности ∆ ABC.
Тогда OA = OB = OC = OK = R. Кроме того, Qp = KA, поскольку KQpA - прямоугольник.
Теперь заметим, что ∠ AOK = ∠ AOB - ∠ KOB = ∠ AOB - ∠ AOC = 2 γ - 2 β ≥ 60 и, учитывая, что OA = OK = R, получим KA ≥ R и Qp ≥ R.
По неравенству треугольника Op + R = OQ + OC > QC = Qp + pC ≥ R + pC.
Отсюда следует, что Op > pC и, значит, в ∆ COp ∠ pOC > δ . Поскольку α = ½ ∠ BOC = ½(180 - 2 ∠ pCO), то действительно ∠ α + ∠ δ < 90.
Решение 2
Как и в предыдущем решении, достаточно показать, что Op > pC.
Вспомним, что по теореме синусов AB = 2R sin γ и AC = 2R sin β .
Отсюда получаем: Bp - pC = AB cos β - AC cos γ = 2R(sin γ cos β - sin β cos γ) = 2R sin (γ - β). Учитывая, что 30 ≤ γ - β < γ < 90, видим, что Bp - pC ≥ R.
Значит R + Op = BO + Op > Bp ≥ R + pC, откуда Op > OC, что и требовалось.
Решение 3
Сначала докажем, что R² > Cp CB. Для этого, поскольку CB = 2R sin α и Cp = AC cos γ , достаточно показать, что ¼ > sin α sin β cos γ .
Заметим, что 1 > sin α = sin (γ + β) = sin γ cos β + sin β cos γ и ½ ≤ sin (γ - β) = sin γ cos β - sin β cos γ , поскольку 30 ≤ γ - β < 90.
Отсюда следует, что ¼ > sin β cos γ и ¼ > sin α sin β cos γ .
Теперь отметим точку J на BC так, что CJ Cp = R². Тогда CJ > CB (поскольку R² > Cp CB), поэтому ∠ OBC > ∠ OJC.
Из того, что OC/CJ = pC/CO и ∠ JOC = ∠ OCp, следует, что ∆ JCO подобен ∆ OCp и ∠ OJC = ∠ pOC = γ .
Значит δ < ∠ OBC = 90 - α , то есть α + δ < 90.
Задача 2.
Докажите, что
Для всех положительных вещественных чисел a, b и c.
Решение:
Сначала докажем, что
Или, что то же самое,
По неравенству о средних
Отсюда
Значит
Точно также
Сложив эти три неравенства, получим:
Комментарий. Можно доказать, что для любых a,b,c > 0 и λ ≥ 8 выполняется следующее неравенство:
Задача 3.
Двадцать одна девочка и двадцать один мальчик принимали участие в математическом конкурсе.
- Каждый участник решил не более шести задач.
- Для любых девочки и мальчика найдётся хотя бы одна задача, решённая обоими.
Решение:
Предположим, что нашлась задача, которую решили не более двух девочек или не более двух мальчиков.
Будем считать задачу «красной», если её решили не более двух девочек и «чёрной» в противоположном случае (тогда её решили не более двух мальчиков).
Представим шахматную доску с 21-й строкой, каждая из которых соответствует девочке, и 21-м столбцом, каждый из которых соответствует мальчику.
Тогда каждая клетка соответствует паре «мальчик-девочка». Каждую клетку покрасим в цвет какой-нибудь задачи, которую решили и мальчик-строка и девочка-столбец.
По принципу Дирихле в каком-нибудь столбце найдётся 11 чёрных клеток, или в какой-нибудь строке найдутся 11 красных клеток (потому что иначе получится, что всего клеток не более чем 21 10 + 21 10 < 21²).
Рассмотрим, например, девочку-строку, содержащую хотя бы 11 чёрных клеток.
Каждой из этих клеток соответствует задача, решённая максимум двумя мальчиками.
Тогда мы можем указать не менее 6 различных задач, решённых этой девочкой. В силу первого условия никаких других задач девочка не решала, но тогда максимум 12 мальчиков имеют общие решённые задачи с этой девочкой, что противоречит второму условию.
Точно также разбирается случай, если в каком-нибудь столбце найдутся 11 красных клеток.
Задача 4.
Пусть N - нечетное натуральное число большее 1, а k 1 , k 2 ,…k n - произвольные целые числа. Для каждой из n! перестановок a = (a 1 ,a 2 , ,a n ) чисел 1, 2,…n, обозначим
Докажите, что найдутся две такие перестановки b и c (b ≠ c), что n! является делителем S(b) - S(c).
Решение:
Пусть ∑ S(a) - сумма S(a) по всем n! перестановкам a = (a 1 ,a 2 , a n ). Мы вычислим ∑ S(a) двумя способами и достигнем противоречия в случае, если n нечётно.
Первый способ. В ∑ S(a) число k 1 умножается на каждое i ∈ 1, ,n всего (n - 1)! раз, по одному на каждую перестановку 1,2, n, в которой a 1 = i. Поэтому коэффициент при k 1 в ∑ S(a) равен (n - 1)!(1 + 2 + + n) = (n + 1)!/2. Это верно для всех k i , поэтому
Второй способ. Если n! не является делителем S(b) - S(c) для любого b ≠ c, то все суммы S(a) должны иметь различные остатки при делении на n!.
Поскольку всего перестановок n!, эти остатки в точности равны 0, 1, …, n! - 1.
Поэтому
Таким образом
Но для нечётных n левая часть этого сравнения сравнима с 0 по модулю n!, в то время как при n > 1 правая часть не может быть сравнима с 0 (поскольку n! - 1 нечётно).
Мы получили противоречие для всех нечётных n > 1.
Задача 5.
В треугольнике ABC проведена биссектрисы Ap и BQ. Известно, что ∠ BAC = 60 и что AB + Bp = AQ + QB. Какими могут быть углы треугольника ABC?
Решение:
Обозначим углы треугольника ABC через α = ∠ A = 60, β = ∠ B и γ = ∠ C. Продолжим сторону AB до точки p′ так, чтобы Bp′ = Bp и построим точку p′ на AQ так, чтобы Ap′ = Ap′. Тогда Bp′p - равнобедренный треугольник с углами при основании равными β /2. Поскольку AQ + Qp′ = AB + Bp′ = AB + Bp = AQ + QB, отсюда следует, что Qp′ = QB. Учитывая, что ∆ Ap′p′ равносторонний, а Ap - биссектриса угла A, получаем, что pp′ = pp′.
Докажем, что точки B, p и p′ лежат на одной прямой (а, значит, точка p′ совпадает с точкой C. Предположим, что это не так, то есть ∆ Bpp′ - невырожденный. Тогда ∠ pBQ = ∠ pp′B = ∠ pp′Q = β /2, а ∠ Qp′B = ∠ QBp′. Значит ∠ pp′B = ∠ pBp′, то есть Bp = pp′. Тогда треугольник Bpp′ - равносторонний, но из этого следует, что β /2 = 60, и, значит, α + β = 60 + 120 = 180. Противоречие.
Поскольку треугольник BCQ равнобедренный, то 120 - β = γ = β /2, поэтому β = 80 и γ = 40.
Задача 6.
Пусть a, b, c, d - целые числа такие, что a > b > c > d > 0. Предположим, что ac + bd = (b + d + a - c)(b + d - a + c). Докажите, что число ab + cd составное.
Решение:
Предположим, что число ab + cd - простое. Заметим, что ab + cd = (a + d)c + (b - c)a = m НОД (a + d,b - c) дл некоторого натуральго m. По предположению или m = 1 или НОД (a + d,b - c) = 1. Рассмотрим эти варианты по-очереди.
1 случай: m = 1. Тогда
Что неверно.
2 случай: НОД (a + d,b - c) = 1. Подставляя ac + bd = (a + d)b - (b - c)a в левую часть равенства ac + bd = (b + d + a - c)(b + d - a + c), получаем (a + d)(a - c - d) = (b - c)(b + c + d).
Ввиду этого, найдётся такое натуральное число k, что
Складывая эти равенства, получаем, что a + b = k(a + b - c + d) и, следовательно, k(c - d) = (k - 1)(a + b). Вспомним, что a > b > c > d. Если k = 1, то c = d - противоречие. Если k ≥ 2, то
Противоречие.
В обоих случаях достигнуто противоречие, значит число ab + cd составное.
Вычисляется произведение P числа задач, решённых в первый и во второй день.
При этом задача считается решённой, если за неё поставлен «плюс», «плюс с точкой» или «плюс-минус». Границы призёров в последние годы таковы:
P 2019 = 8 ; P 2018 = P 2015 = 6 ; P 2017 = P 2016 = P 2014 = P 2013 = 4 ; P 2012 = 3 .
Так, например, в соответствии с правилом произведения, в 2018 году школьник, решивший пять задач в первый день и одну задачу — во второй, остался без диплома; а тот, кто решил две задачи в первый день, и три — во второй, получил диплом III степени (оба случая имели место в действительности).
В качестве очевидного следствия правила произведения отметим также, что нулевой результат в один из дней (при любом результате другого дня) лишает вас шансов на диплом. (В этом смысле правило суммы на МОШ по физике более лояльно: оно позволяет стать призёром по итогам, например, второго тура при сколь угодно плохо написанном первом.)
Регистрация участников — в ЕСР.
Московская математическая олимпиада в Перечне РСОШ имеет первый уровень.
Задачи ММО последних лет
| 8 класс |
,
,
,
,
, , , , , |
| 9 класс | , , |
