Корреляционно-регрессионный анализ в Excel: инструкция выполнения. Корреляционно-регрессионный анализ: пример, задачи, применение. Метод корреляционно-регрессионного анализа

1) корреляционный анализ как средство получения информации;

2) особенности процедур определения коэффициентов линейной и ранговой корреляции.

Корреляционный анализ (от лат. «соотношение», «связь») применяется для проверки гипотезы о статистической зависимости значений двух или нескольких переменных в том случае, если исследователь может их регистрировать (измерять), но не контролировать (изменять).

Когда повышение уровня одной переменной сопровождается повышением уровня другой, то речь идет о положительной корреляции. Если же рост одной переменной происходит при снижении уровня другой, то говорят оботрицательной корреляции. При отсутствии связи переменных мы имеем дело снулевой корреляцией.

При этом переменными могут быть данные тестирований, наблюдений, экспериментов, социально-демографические характеристики, физиологические параметры, особенности поведения и т. д. К примеру, использование метода позволяет нам дать количественно выраженную оценку взаимосвязи таких признаков, как: успешность обучения в вузе и степень профессиональных достижений по его окончании, уровень притязаний и стресс, количество детей в семье и качества их интеллекта, черты личности и профессиональная ориентация, продолжительность одиночества и динамика самооценки, тревожность и внутригрупповой статус, социальная адаптированность и агрессивность при конфликте...

В качестве вспомогательных средств, процедуры корреляции незаменимы при конструировании тестов (для определения валидности и надежности измерения), а также как пилотажные действия по проверке пригодности экспериментальных гипотез (факт отсутствия корреляции позволяет отвергнуть предположение о причинно-следственной связи переменных).

Усиление интереса в психологической науке к потенциалу корреляционного анализа обусловлено целым рядом причин. Во-первых, становится допустимым изучение широкого круга переменных, экспериментальная проверка которых затруднена или невозможна. Ведь по этическим соображениям, к примеру, нельзя провести экспериментальные исследования самоубийств, наркомании, деструктивных родительских воздействий, влияния авторитарных сект. Во-вторых, возможно получение за короткое время ценных обобщений данных о больших количествах исследуемых лиц. В-третьих, известно, что многие феномены изменяют свою специфику во время строгих лабораторных экспериментов. А корреляционный анализ предоставляет исследователю возможность оперировать информацией, полученной в условиях, максимально приближенных к реальным. В-четвертых, осуществление статистического изучения динамики той или иной зависимости нередко создает предпосылки к достоверному прогнозированию психологических процессов и явлений.

Однако следует иметь в виду, что применение корреляционного метода связано и с весьма существенными принципиальными ограничениями.

Так, известно, что переменные вполне могут коррелировать и при отсутствии причинно-следственной связи между собой.

Это иногда возможно в силу действия случайных причин, при неоднородности выборки, из-за неадекватности исследовательского инструментария поставленным задачам. Такая ложная корреляция способна стать, скажем, «доказательством» того, что женщины дисциплинированнее мужчин, подростки из неполных семей более склонны к правонарушениям, экстраверты агрессивнее интровертов и т. п. Действительно, стоит отобрать в одну группу мужчин, работающих в высшей школе, и женщин, предположим, из сферы обслуживания, да еще и протестировать тех и других на знание научной методологии, то мы получим выражение заметной зависимости качества информированности от пола. Можно ли доверять такой корреляции?

Еще чаще, пожалуй, в исследовательской практике встречаются случаи, когда обе переменные изменяются под влиянием некоей третьей или даже нескольких скрытых детерминант.

Если мы обозначим цифрами переменные, а стрелками - направления от причин к следствиям, то увидим целый ряд возможных вариантов:

1  2  3  4

1  2  3  4

1  2  3  4

1  2  3  4 и т. д.

Невнимание к воздействию реальных, но неучтенных исследователями факторов позволило представить обоснования того, что интеллект - сугубо наследуемое образование (психогенетический подход) или, напротив, что он обусловлен лишь влиянием социальных составляющих развития (социогенетический подход). В психологии, следует заметить, нераспространены феномены, имеющие однозначную первопричину.

Кроме того, факт наличия взаимосвязи переменных не дает возможности выявить по итогам корреляционного исследования причину и следствие даже в тех случаях, когда промежуточных переменных не существует.

Например, при изучении агрессивности детей было установлено, что склонные к жестокости дети чаще сверстников смотрят фильмы со сценами насилия. Означает ли это, что такие сцены развивают агрессивные реакции или, наоборот, подобные фильмы привлекают самых агрессивных детей? В рамках корреляционного исследования дать правомерный ответ на этот вопрос невозможно.

Необходимо запомнить: наличие корреляций не является показателем выраженности и направленности причинно-следственных отношений.

Другими словами, установив корреляцию переменных, мы можем судить не о детерминантах и производных, а лишь о том, насколько тесно взаимосвязаны изменения переменных и каким образом одна из них реагирует на динамику другой.

При использовании данного метода оперируют той или иной разновидностью коэффициента корреляции. Его числовое значение обычно изменяется от -1 (обратная зависимость переменных) до +1 (прямая зависимость). При этом нулевое значение коэффициента соответствует полному отсутствию взаимосвязи динамики переменных.

Например, коэффициент корреляции +0,80 отражает наличие более выраженной зависимости между переменными, чем коэффициент +0,25. Аналогично, зависимость между переменными, характеризуемая коэффициентом -0,95, гораздо теснее, чем та, где коэффициенты имеют значения +0,80 или + 0,25 («минус» указывает нам только на то, что рост одной переменной сопровождается уменьшением другой).

В практике психологических исследований показатели коэффициентов корреляции обычно не достигают +1 или -1. Речь может идти только о той или иной степени приближения к данному значению. Часто корреляция считается выраженной, если ее коэффициент выше 0,60. При этом недостаточной корреляцией, как правило, считаются показатели, располагающиеся в интервале от -0,30 до +0,30.

Однако, сразу следует оговорить, что интерпретация наличия корреляции всегда предполагает определение критических значений соответствующего коэффициента. Рассмотрим этот момент более подробно.

Вполне может получиться так, что коэффициент корреляции равный +0,50 в некоторых случаях не будет признан достоверным, а коэффициент, составляющий +0,30, окажется при определенных условиях характеристикой несомненной корреляции. Многое здесь зависит от протяженности рядов переменных (т. е. от количества сопоставляемых показателей), а также от заданной величины уровня значимости (или от принятой за приемлемую вероятность ошибки в расчетах).

Ведь, с одной стороны, чем больше выборка, тем количественно меньший коэффициент будет считаться достоверным свидетельством корреляционных отношений. А с другой стороны, если мы готовы смириться со значительной вероятностью ошибки, то можем посчитать за достаточную небольшую величину коэффициента корреляции.

Существуют стандартные таблицы с критическими значениями коэффициентов корреляции. Если полученный нами коэффициент окажется ниже, чем указанный в таблице для данной выборки при установленном уровне значимости, то он считается статистически недостоверным.

Работая с такой таблицей, следует знать, что пороговой величиной уровня значимости в психологических исследованиях обычно считается 0,05(или пять процентов). Разумеется, риск ошибиться будет еще меньше, если эта вероятность составляет 1 на 100 или, еще лучше, 1 на 1000.

Итак, не сама по себе величина подсчитанного коэффициента корреляции служит основанием для оценки качества связи переменных, а статистическое решение о том, можно ли считать вычисленный показатель коэффициента достоверным.

Зная это, обратимся к изучению конкретных способов определения коэффициентов корреляции.

Значительный вклад в разработку статистического аппарата корреляционных исследований внес английский математик и биолог Карл Пирсон (1857-1936), занимавшийся в свое время проверкой эволюционной теории Ч. Дарвина.

Обозначение коэффициента корреляции Пирсона (r) происходит от понятия регрессии - операции по сведению множества частных зависимостей между отдельными значениями переменных к их непрерывной (линейной) усредненной зависимости.

Формула для расчета коэффициента Пирсона имеет такой вид:

где x , y - частные значения переменных, -(сигма) - обозначение суммы, а
- средние значения тех же самых переменных. Рассмотрим порядок использования таблицы критических значений коэффициентов Пирсона. Как мы видим, в левой ее графе указано число степеней свободы. Определяя нужную нам строчку, мы исходим из того, что искомая степень свободы равнаn -2, гдеn - количество данных в каждом из коррелируемых рядов. В графах же, расположенных с правой стороны, указаны конкретные значения модулей коэффициентов.

Причем, чем правее расположен столбик чисел, тем выше достоверность корреляции, увереннее статистическое решение о её значимости.

Если у нас, например, коррелируют два ряда цифр по 10 единиц в каждом из них и получен по формуле Пирсона коэффициент, равный +0,65, то он будет считаться значимым на уровне 0,05 (так как больше критического значения в 0,632 для вероятности 0,05 и меньше критического значения 0,715 для вероятности 0,02). Такой уровень значимости свидетельствует о существенной вероятности повторения данной корреляции в аналогичных исследованиях.

Теперь приведем пример вычисления коэффициента корреляции Пирсона. Пусть в нашем случае необходимо определить характер связи между выполнением одними и теми же лицами двух тестов. Данные по первому из них обозначены как x , а по второму - какy .

Для упрощения расчетов введены некоторые тождества. А именно:

При этом мы имеем следующие результаты испытуемых (в тестовых баллах):

;

;

Заметим, что число степеней свободы равно в нашем случае 10. Обратившись к таблице критических значений коэффициентов Пирсона, узнаем, что при данной степени свободы на уровне значимости 0,999 будет считаться достоверным любой показатель корреляции переменных выше, чем 0,823. Это дает нам право считать полученный коэффициент свидетельством несомненной корреляции рядов x иy .

Применение линейного коэффициента корреляции становится неправомерным в тех случаях, когда вычисления производятся в пределах не интервальной, а порядковой шкалы измерения. Тогда используют коэффициенты ранговой корреляции. Разумеется, результаты при этом получаются менее точными, так как сопоставлению подлежат не сами количественные характеристики, а лишь порядки их следования друг за другом.

Среди коэффициентов ранговой корреляции в практике психологических исследований довольно часто применяют тот, который предложен английским ученым Чарльзом Спирменом (1863-1945), известным разработчиком двухфакторной теории интеллекта.

Используя соответствующий пример, рассмотрим действия, необходимые для определения коэффициента ранговой корреляции Спирмена .

Формула его вычисления выглядит следующим образом:

;

где d -разности между рангами каждой переменной из рядовx иy ,

n - число сопоставляемых пар.

Пусть x иy - показатели успешности выполнения испытуемыми некоторых видов деятельности(оценки индивидуальных достижений). При этом мы располагаем следующими данными:

Заметим, что вначале производится раздельное ранжирование показателей в рядах x иy . Если при этом встречается несколько равных переменных, то им присваивается одинаковый усредненный ранг.

Затем осуществляется попарное определение разности рангов. Знак разности несущественен, так как по формуле она возводится в квадрат.

В нашем примере сумма квадратов разностей рангов
равна 178. Подставим полученное число в формулу:

Как мы видим, показатель коэффициента корреляции в данном случае составляет ничтожно малую величину. Тем не менее, сопоставим его с критическими значениями коэффициента Спирмена из стандартной таблицы.

Вывод: между указанными рядами переменных x иy корреляция отсутствует.

Надо заметить, что использование процедур ранговой корреляции предоставляет исследователю возможность определять соотношения не только количественных, но и качественных признаков, в том, разумеется, случае, если последние могут быть упорядочены по возрастанию выраженности(ранжированы).

Нами были рассмотрены наиболее распространенные, пожалуй, на практике способы определения коэффициентов корреляции. Иные, более сложные или реже применяемые разновидности данного метода при необходимости можно найти в материалах пособий, посвященных измерениям в научных исследованиях.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ: корреляция; корреляционный анализ; коэффициент линейной корреляции Пирсона; коэффициент ранговой корреляции Спирмена; критические значения коэффициентов корреляции.

Вопросы для обсуждения:

1. Каковы возможности корреляционного анализа в психологических исследованиях? Что можно и что нельзя выявить с помощью данного метода?

2. Какова последовательность действий при определении коэффициентов линейной корреляции Пирсона и ранговой корреляции Спирмена?

Упражнение 1:

Установите, являются ли статистически достоверными следующие показатели корреляции переменных:

а) коэффициент Пирсона +0,445 для данных двух тестирований в группе, состоящей из 20 испытуемых;

б) коэффициент Пирсона -0,810 при числе степеней свободы равном 4;

в) коэффициент Спирмена +0,415 для группы из 26 человек;

г) коэффициент Спирмена +0,318 при числе степеней свободы равном 38.

Упражнение 2:

Определите коэффициент линейной корреляции между двумя рядами показателей.

Ряд 1: 2, 4, 5, 5, 3, 6, 6, 7, 8, 9

Ряд 2: 2, 3, 3, 4, 5, 6, 3, 6, 7, 7

Упражнение 3:

Сделайте выводы о статистической достоверности и степени выраженности корреляционных отношений при числе степеней свободы равном 25, если известно, что
составляет: а) 1200; б) 1555; в) 2300

Упражнение 4:

Выполните всю последовательность действий, необходимых для определения коэффициента ранговой корреляции между предельно обобщёнными показателями успеваемости школьников («отличник», «хорошист» и т.д.) и характеристиками выполнения ими теста умственного развития (ШТУР). Сделайте интерпретацию полученных показателей.

Упражнение 5:

С помощью коэффициента линейной корреляции рассчитайте показатели ретестовой надежности имеющегося в вашем распоряжении теста интеллекта. Выполните исследование в студенческой группе с интервалом времени между тестированиями в 7-10 дней. Сформулируйте выводы.

Изучение реальной действительности показывает, что практически каждое общественное явление находится в тесной связи и взаимодействии с другими явлениями, какими бы случайными они не казались на первый взгляд. Так, например, уровень урожайности сельскохозяйственных культур зависит от множества природных и экономических факторов, тесно связанных между собой.

Исследования и измерения взаимосвязей и взаимозависимостей социально-экономических явлений является одной из важнейших задач статистики.

Для исследования взаимосвязей между явлениями статистика использует ряд методов и приемов: статистические группировки (простые и комбинационные). индексный, корреляционный и дисперсионный анализ, балансовый, табличный, графический и др. Содержание, специфика и возможности применения некоторых из перечисленных методов уже были рассмотрены в предыдущих разделах учебника. Индексный и графический методы рассматриваются соответственно в 11 и 12 главах.

Наряду с уже рассмотренными методами изучения взаимосвязей особое место занимает метод корреляции, который является логическим продолжением таких методов как аналитическое группировки, дисперсионный анализ и сопоставление параллельных рядов. В сочетании с этими методами он предоставляет статистическому анализу законченный, завершенный характер.

Основателями теории корреляции являются английские статистики Ф.Гальтон (1822-1911 гг.) и К.Пірсон (1857-1936 гг.).

Срок корреляция происходит от английского слова correlation - соотношение, соответствие (взаимосвязь, взаимозависимость) между признаками, которая проявляется при массовом наблюдении изменения средней величины одного признака в зависимости от значения другой. Признаки, связанные между собой корреляционным связью, называют корельованими.

Корреляционный анализ дает возможность измерить степень влияния факторных признаков на результативные, установить единую меру тесноты связи и роль изучаемого фактора (факторов) в общем изменении результативного признака. Корреляционный метод позволяет получить количественные характеристики степени связи между двумя и большим числом признаков, а потому в отличие от рассмотренных выше методов, дает более широкое представление о связи между ними.

Связи между факторами достаточно разнообразны. При этом одни признаки выступают в роли факторов, действующих на другие, вызывая их изменение, вторые-в роли действия этих факторов. Первые из них называют факторными признаками, вторые -результативными.

Исследуя связи между признаками, необходимо выделить прежде всего два вида связей: 1) функциональный (полный) и 2) корреляционная (статистическая) связь.

Функциональным называют такую связь между признаками, при которой каждому значению одной переменной (аргумента) соответствует строго определенное значение другой переменной (функции). Такие связи наблюдаются в математике, физике, химии, астрономии и других науках.

Например, площадь круга (8 = яР2) и длина окружности (С = 27ГЇР) полностью определяется величиной радиуса, площади треугольника и прямоугольника - длина их сторон и т.д. Так, с увеличением радиуса окружности на 1 см его длина увеличивается на 6,28 см, на 2 см - на 12,56 см и т.д.

В сельскохозяйственном производстве примером функциональной связи может быть связь между выручкой от продажи продукции, цене реализации 1 ц и количеством реализованной продукции; валовому сбору, урожайности и размеру посевной площади; фондоотдачей, стоимостью валовой продукции и основных фондов; заработной платой и количеством отработанного времени при повременной оплате и т.д.

Функциональная связь проявляется как в совокупности в целом, так и в каждой ее единицы абсолютно точно и выражается с помощью аналитических формул.

В социально-экономических явлениях функциональные связи между признаками случаются редко. Здесь чаще всего имеют место следующие связи между переменными величинами, при которых численному значению одной из них соответствует несколько значений другого. Такая связь между признаками получил название корреляционной (статистической) связи. Например, известно, что с увеличением доз минеральных удобрений и улучшением их структуры (соотношения), как правило, урожайность сельскохозяйственных культур повышается, но хорошо известно, что прирост урожайности в каждом отдельном случае будет разным при одинаковых нормах внесения удобрений. Кроме того, одни и те же нормы удобрений, даже при очень выровненных условиях, часто по-разному влияют на урожайность. Кроме самих удобрений на величину формирования урожайности влияют также другие факторы, прежде всего, такие как качество почвы, осадки, сроки и способы сева и уборки и т.д. Известна закономерность между урожайностью и удобрениями проявится при достаточно большом количестве наблюдений и при сравнении достаточно большого количества средних значений результативного и факторного признаков.

Примером корреляционной связи в сельскохозяйственном производстве может быть связь между продуктивностью животных и уровнем кормления, качеством кормов, породностью скота; между стажем работы и производительностью труда рабочих и т.д.

Корреляционная связь является неполным, он проявляется при большом количестве наблюдений, при сравнении средних значений результативного и факторного признаков. В этом отношении выявление корреляционных зависимостей связано с действием закона больших чисел: только при достаточно большом количестве наблюдений индивидуальные особенности и второстепенные факторы сгладятся и зависимость между результативным и факторным признаками, если она имеет место, окажется достаточно отчетливо.

С помощью корреляционного анализа решают следующие основные задачи:

а) определение среднего изменения результативного признака под влиянием одного или нескольких факторов (в абсолютном или относительном выражении);

б) характеристика степени зависимости результативного признака от одного из факторов при фиксированном значении других факторов, включенных в корреляционной модели;

в) определение тесноты связи между результативными и факторными признаками (как со всеми факторами, так и с каждым фактором в отдельности при исключении влияния других);

г) определение и разложения общего объема вариации результативного признака на соответствующие части и установление роли каждого отдельного фактора в этой вариации;

д) статистическая оценка выборочных показателей корреляционной связи. Корреляционная связь выражается соответствующими математическими уравнениями. По направлению связь между корелюючими признакам может быть прямым и обратным. При прямой связи оба признака изменяются в одном направлении, то есть с увеличением факторного признака возрастает результативная и наоборот (например, связь между качеством почвы и урожайностью, уровнем кормления и продуктивностью животных, стажем работы и производительностью труда). При обратном связи оба признака изменяются в разных направлениях (например, связь между урожайностью и себестоимостью продукции, производительностью труда и себестоимостью продукции).

По форме или аналитическим выражением различают связи прямолинейные (или просто линейные) и нелинейные (или криволинейные). Если связь между признаками выражается уравнением прямой линии, то ее называют линейной связью; если же она выражается уравнением какой-либо кривой (параболы, гиперболы, показательной, степенной и т.д.), то такую связь называют нелинейной или криволинейным.

в Зависимости от количества исследуемых признаков различают парную (простую) и множественную корреляцию. При парной корреляции изучают связь между двумя признаками (результативным и факторным), при множественной корреляции - связь между тремя и большим числом признаков (результативным и двумя и большим числом факторов).

С помощью метода корреляционного анализа решается две главных задачи: 1) определение формы и параметров уравнения связи; 2) измерение тесноты связи.

Первая задача решается нахождением уравнения связи и определению его параметров. Второе - с помощью расчета различных показателей тесноты связи (коэффициент корреляции, корреляционного отношения, индекса корреляции и др.).

Схематично корреляционный анализ можно разделить на пять этапов:

1) постановка задачи, установление наличия связи между исследуемыми признаками;

2) отбор наиболее существенных факторов для анализа;

3) определение характера связи, его направления и формы, выбор математического уравнения для выражения существующих связей;

4) расчет числовых характеристик корреляционной связи (определение параметров уравнения и показателей тесноты связи);

5) статистическая оценка выборочных показателей связи.

Научно обоснованное применение корреляционного метода требует прежде всего глубокого понимания сущности взаимосвязей социально-экономических явлений. Сам метод не устанавливает наличие и причин возникновения связей между изучаемыми явлениями, его назначение состоит в их количественном измерении. На первом этапе корреляционного анализа осуществляется общее ознакомление с исследуемым объектом и явлениями, уточняются цель и задачи исследования, устанавливается теоретическая возможность причинно-следственной связи между признаками.

Установление причинных зависимостей в изучаемом явлении предшествует собственно корреляционному анализа. Поэтому применению методов корреляции должен предшествовать глубокий теоретический анализ, который охарактеризует основной процесс, протекающий в исследуемом явлении, определит существенные связи между отдельными его сторонами и характер их взаимодействия.

Предварительный анализ данных создает основу для формулирования конкретной задачи исследования связей, отбора важнейших факторов, установление возможной формы взаимосвязи признаков и тем самым приводит к математической формализации - к выбору математического уравнения, которое наиболее полно реализует существующие связи.

Одним из важнейших вопросов корреляционного анализа является отбор результативной и факторной (факторных) признаков. Факторные и результативные признаки, отбираемые для корреляционного анализа, должны быть существенными, первые должны непосредственно влиять на другие. Отбор факторов для включения их в корреляционную модель должен базироваться прежде всего на теоретических основах и практическом опыте анализа исследуемого социально-экономического явления. Большую помощь в решении этой задачи могут оказать такие статистические приемы и методы, как сопоставление параллельных рядов, построение таблиц распределения численностей по двум признакам (корреляционных таблиц, построение статистических группировок как по результативным признаком с анализом взаимосвязанных с ним факторов, так и по факторным признаком (или комбинацией факторных признаков) с анализом их влияния на результативный признак.

Отбор факторов для парных корреляционных моделей не сложный: из множества факторов, влияющих на результативный признак, отбирается один из важнейших факторов, который в основном определяет вариацию результативного признака или же фактор, существенность влияния которого на результативный признак предполагается изучить или проверить. Отбор факторов для множественных корреляционных моделей имеет ряд особенностей и ограничений. Они будут рассмотрены при изложении вопросов множественной корреляции.

Одной из главных проблем построения корреляционной модели является определение формы связи и на этой основе установление типа аналитической функции, отражающей механизм связи результативного признака с факторным (факторными). Под формой корреляционной связи понимают тип аналитического уравнения, выражающего зависимость между исследуемыми признаками.

Выбор того или иного уравнения для исследования связей между признаками является наиболее трудным и ответственным заданием, от которого зависят результаты корреляционного анализа. Все дальнейшие найретельніші расчеты могут быть обезцінені, если форма связи выбрана неверно. Важность этого этапа заключается в том, что правильно установленная форма связи позволяет подобрать и построить наиболее адекватную модель и на основе ее решения получить статистически достоверные и надежные характеристики.

Установление формы связи между признаками в большинстве случаев обосновывается теорией или практическим опытом предыдущих исследований. Если форма связи неизвестна, то при парной корреляции математическое уравнение может быть установлено с помощью составления корреляционных таблиц, построения статистических группировок, просмотра различных функций на ЭВМ и выбор такого уравнения, которое дает наименьшую сумму квадратов отклонений фактических данных от выровненных (теоретических) значений и др.

в Зависимости от исходных данных теоретической линией регрессии могут быть различные типы кривых или прямая линия. Так, если изменение результативного признака под влиянием фактора характеризуется постоянными приращениями, то это указывает на линейный характер связи, если же изменения результативного признака под влиянием фактора характеризуется постоянными коэффициентами роста, то есть основание предположить криволинейный связь.

Особое место в обосновании формы связи при проведении корреляционного анализа относится графиков, построенных в системе прямоугольных координат на основе эмпирических данных. Графическое изображение фактических данных дает наглядное представление о наличии и форму связи между исследуемыми признаками.

Согласно правилам математики при построении графика на оси абсцисс откладывают значения факторного признака, а на оси ординат - значения результативного признака. Отложив на пересечении соответствующих значений двух признаков точки, получим точечный график, который называют корреляционным полем. По характеру размещения точек на корреляционному поле делают вывод о направление и форму связи. Достаточно взглянуть на график, чтобы прийти к выводу о наличие и форму связи между признаками. Если точки концентрируются вокруг мнимой оси направленного слева, снизу, направо, вверх, то связь прямая, если к напротив слева, сверху, направо, вниз - связь обратная. Если точки разбросаны по всему полю, то это свидетельствует о том, что связь между признаками отсутствует или очень слабый. Характер размещения точек на корреляционному поле указывает также и на наличие прямолинейного или криволинейного связи между исследуемыми признаками.

С помощью графика подбирают соответствующее математическое уравнение для количественной оценки связи между результативным и факторным признаками. Уравнение, отражающее связь между признаками, называют уравнением регрессии или корреляционным уравнением. Если уравнение регрессии связывает только два признака, то оно называется уравнением парной регрессии. Если уравнение связи отражает зависимость результативного признака от двух и более факторных признаков, оно называется уравнением множественной регрессии. Кривые, построенные на основе уравнений регрессии, называют кривыми регрессии или линиями регрессии.

Различают эмпирическую и теоретическую линии регрессии. Если на корреляционному поле соединить точки отрезками прямой линии, то получим ломаную линию с некоторой тенденцией, которая называется эмпирической линией регрессии. в Теоретической линией регрессии называется та линия, вокруг которой концентрируются точки корреляционного поля и которая указывает основное направление, основную тенденцию связи. Теоретическая линия регрессии должна отражать изменение средних величин результативного признака по мере изменения величин факторного признака при условии полного взаємопогашення всех других - случайных по отношению к фактору - причин. Следовательно, эта линия должна быть проведена так, чтобы сумма отклонений точек корреляционного поля от соответствующих точек теоретической линии равнялась нулю, а сумма квадратов отклонений была бы минимальной величине. Поиск, построение, анализ и практическое применение теоретической линии регрессии называют регрессионным анализом.

По эмпирической линией регрессии не всегда удается установить форму связи и добрать уравнения регрессии. В таких случаях строят и решают различные уравнения регрессии. Затем оценивают их адекватность и подбирают такое уравнение, которое обеспечивает наилучшую аппроксимацию (приближение) фактических данных к теоретическим и достаточную статистическую достоверность и надежность.

Если подходить строго, регресійно-корреляционный анализ следует расчленить на регрессионный и корреляционный. Регрессионный анализ решает вопрос построения, разрешения и оценки уравнений регрессии, а при корреляционному анализе этих вопросов присоединяется еще круг вопросов, связанных с определением тесноты связи между результативным и факторным (факторными) признакам. В дальнейшем изложении регресійно-корреляционный анализ рассматривается как единое целое и называется просто корреляционный анализ.

Чтобы результаты корреляционного анализа нашли практическое применение и дали научно обоснованные результаты, должны выполняться определенные требования в отношении объекта исследования и качества исходной статистической информации. Основные из этих требований следующие:

Качественная однородность исследуемой совокупности, что предполагает близость формирование результативных и факторных признаков. Необходимость выполнения этого условия вытекает из содержания параметров уравнения связи. Из математической статистики известно, что параметры являются средними величинами. В качественно однородной совокупности они будут типичными характеристиками, в качественно разнородной - искаженными, что искажают характер связи. Количественная однородность совокупности заключается в отсутствии единиц наблюдения, которые за своими числовыми характеристиками существенно отличаются от основной массы данных. Такие единицы наблюдения следует исключать из совокупности и изучать отдельно;

Достаточно большое число наблюдений, поскольку связи между признаками обнаруживаются только в результате действия закона больших чисел. Количество единиц наблюдения должна в 6 - 8 раз превышать число включенных в модель факторов;

Случайность и независимость отдельных единиц совокупности друг от друга. Это означает, что значения признаков в одних единиц совокупности не должны зависеть от значений других единиц данной совокупности;

Устойчивость и независимость действия отдельных факторов;

Постоянство дисперсии результативного признака при изменении факторных признаков; - нормальное распределение признаков.

Математические методы анализа и прогнозирования

Корреляционный анализ

Введение

2. Регрессионный анализ

3. Факторный анализ

4. Кластерный анализ

5. Анализ динамики и прогнозирования социально-правовых процессов

Заключение

Между социально-экономическими явлениями и процессами воз­можны два вида зависимости: функциональная и стохастическая. При или иных параметров, характеризующих различные явления. Примеры такого рода зависимостей в социальной среде практически не встречаются.

При стохастической (вероятностной) зависимости конкретному значению зависимой переменной соответствует набор значений объ­ясняющей переменной. Это связано, прежде всего, с тем, что на за­висимую переменную оказывает влияние ряд неучтенных факторов. Кроме того, сказываются ошибки измерения переменных: вследствие случайного разброса значений их значения могут быть указаны лишь с определенной вероятностью.

В социально-экономической сфере приходится сталкиваться со многими явлениями, имеющими вероятностную природу. Так, число совершенных и раскрытых преступлений за фиксированный отрезок времени, число дорожно-транспортных происшествий в каком-либо регионе за определенное время - все это случайные величины.

Для изучения стохастических взаимосвязей существуют специальные методы, в частности корреляционный анализ ("корреляция" ­соотношение, связь между имеющимися явлениями и процессами).

Корреляционный анализ - это использование в определенной последовательности совокупности статистических методов обработки ин­формации, позволяющее исследовать взаимосвязи между различными признаками.

Задачей корреляционного анализа как метода математической статистики является установление формы и направления связи, а также измерение тесноты этой связи между изучаемыми случайными признаками.

В статистике величина линейной зависимости между двумя признаками измеряется посредством простого (выборочного) коэффициента корреляции . Величина линейной зависимости одной перемен­ной от нескольких других измеряется коэффициентом множественной ми после устранение части линейной зависимости, обусловленной связью этих переменных с другими переменными.

По форме корреляционные связи могут быть линейными (прямо­линейными) и нелинейными (криволинейными), а по направлению ­

Прямая связь свидетельствует о том, что с увеличением (уменьшением) значений одного признака увеличиваются (уменьшают­ся) значения другого признака. При обратной связи увеличение (уменьшение) значений одного признака ведет к уменьшению (увели­чению) значений другого признака.

Главная задача корреляционного анализа - измерение тесноты связи - решается путем вычисления различных коэффициентов корре­ляции и проверки их значимости.

Коэффициент корреляции может принимать значения при прямой связи от 0 до +1, а при обратной от -1 до 0. При коэффициен­тах, близких к 0, считается, что статистическая линейная связь между признаками отсутствует; при абсолютных значениях коэффици­ентов, меньших 0,3, - связь слабая; при значениях 0,3...0,5 ­связь умеренная; при 0,5...0,7 - связь значительная; при 0,7...0,9 - связь сильная; если значения коэффициентов больше 0,9, то связь считается очень сильной; если коэффициенты равны +1 или -1, то говорится о функциональной связи (что практически не встречается в статистических исследованиях).

Однако такая упрощенная оценка силы связи не всегда кор­ректна, так как степень уверенности в наличии статистической связи зависит от объема исследуемой совокупности. Чем меньше объем совокупности, тем большим должно быть значение коэффициен­та корреляции для принятия гипотезы о существовании зависимости между признаками. С целью количественного измерения степени уве­ренности в существовании линейной статистической связи между признаками введены понятия уровня значимости и пороговых (крити­ческих) значений коэффициента корреляции.

Проверка значимости полученного коэффициента корреляции состоит в сравнении расчетного значения с критическим. При дан­ном числе измерений и задаваемом уровне значимости находится критическое значение, которое сравнивается с расчетным. Если расчетное больше критического, то связь значима, если меньше, то связь или отсутствует (а такое значение коэффициента корреляции объясняется случайными отклонениями), или выборка мала для ее выявления.

Для определения существования и величины линейной зависи­мости между двумя переменными X и Y необходимо осуществить две процедуры. Первая заключается в графическом отображении точек [{Xi,Yi},i=1,n] на плоскость . Полученный график называется допустимости предположения о линейной зависимости между перемен­ными. Если такое предположение допустимо, то необходимо выразить в количественном виде величину линейной связи. Для этого исполь­зуется выборочный коэффициент корреляции:

где n - количество измерений, Xi,Yi - i-е значения, X,Y - сред­ние значения, sx, sy - среднеквадратические отклонения перемен­ных X и Y соответственно.

В теории статистического анализа корреляционная связь опре­деляется как линейная зависимость в условиях нормальности расп­ределения анализируемых переменных. Поэтому для корректного при­менения корреляционных методов необходимо обосновать близость распределения переменных к нормальному и формы связи к линейной. В противном случае необходимо применять более сложные приемы анализа или другие коэффициенты связи.

Достаточно простой в вычислительном отношении способ про­верки нормальности эмпирического распределения состоит в оценке следующего отношения:

,

где C - среднее абсолютное отклонение, s - среднеквадратическое отклонение.

Если указанное неравенство выполняется, то можно говорить о нормальности эмпирических распределений и корректности примене­ния коэффициента корреляции как меры линейной статистической связи между переменными.

В общем случае на уровень преступности влияет множество фак­торных признаков. К ним относятся социально-экономические, геог­рафические и климатические, демографические и др., а также приз­наки, характеризующие силы и средства, степень организованности органа внутренних дел.

Однако даже при наличии сильной статистически значимой свя­зи между двумя переменными нельзя быть полностью уверенным в их причинно-следственной обусловленности, так как могут существо­вать другие причины (факторы), определяющие их совместную ста­тистическую взаимосвязь. Статистические выводы должны быть всег­да обоснованы надежной теоретической концепцией.

В то же время отсутствие статистически значимой связи не говорит об отсутствии причинно-следственных отношений, а заставляет искать другие пути и средства ее выявления, если содержа­тельная концепция и практический опыт указывают на ее возможное существование.

Функциональная зависимость и корреляция . Еще Гиппократ в VI в. до н. э. обратил внимание на наличие связи между телосложением и темпераментом людей, между строением тела и предрасположенностью к тем или иным заболеваниям. Определенные виды подобной связи выявлены также в животном и растительном мире. Так, существует зависимость между телосложением и продуктивностью у сельскохозяйственных животных; известна связь между качеством семян и урожайностью культурных растений и т.д. Что же касается подобных зависимостей в экологии, то существуют зависимости между содержанием тяжелых металлов в почве и снежном покрове от их концентрации в атмосферном воздухе и т.п. Поэтому естественно стремление использовать эту закономерность в интересах человека, придать ей более или менее точное количественное выражение.

Как известно, для описания связей между переменными величинами применяют математические понятие функции f , которая ставит в соответствие каждому определенному значению независимой переменной x определенное значение зависимой переменной y , т.е. . Такого рода однозначные зависимости между переменными величинамиx и y называют функциональными . Однако такого рода связи в природных объектах встречаются далеко не всегда. Поэтому зависимость между биологическими, а также и экологическими признаками имеет не функциональный, а статистический характер, когда в массе однородных индивидов определенному значению одного признака, рассматриваемого в качестве аргумента, соответствует не одно и то же числовое значение, а целая гамма распределяющихся в вариационный ряд числовых значений другого признака, рассматриваемого в качестве зависимой переменной, или функции. Такого рода зависимость между переменными величинами называется корреляционной или корреляцией..

Функциональные связи легко обнаружить и измерить на единичных и групповых объектах, однако этого нельзя проделать с корреляционными связями, которые можно изучать только на групповых объектах методами математической статистики. Корреляционная связь между признаками бывает линейной и нелинейной, положительной и отрицательной. Задача корреляционного анализа сводится к установлению направления и формы связи между варьирующими признаками, измерению ее тесноты и, наконец, к проверке достоверности выборочных показателей корреляции.

Зависимость между переменными X и Y можно выразить аналитически (с помощью формул и уравнений) и графически (как геометрическое место точек в системе прямоугольных координат). График корреляционной зависимости строят по уравнению функции или, которая называетсярегрессией . Здесь и– средние арифметические, найденные при условии, чтоX или Y примут некоторые значения x или y . Эти средние называются условными .

11.1. Параметрические показатели связи

Коэффициент корреляции . Сопряженность между переменными величинами x и y можно установить, сопоставляя числовые значения одной из них с соответствующими значениями другой. Если при увеличении одной переменной увеличивается другая, это указывает на положительную связь между этими величинами, и наоборот, когда увеличение одной переменной сопровождается уменьшением значения другой, это указывает на отрицательную связь .

Для характеристики связи, ее направления и степени сопряженности переменных применяют следующие показатели:

линейной зависимость – коэффициент корреляции ;

нелинейный – корреляционной отношение .

Для определения эмпирического коэффициента корреляции используют следующую формулу:

. (1)

Здесь s x и s y – средние квадратические отклонения.

Коэффициент корреляции можно вычислить, не прибегая к расчету средних квадратических отклонений, что упрощает вычислительную работу, по следующей аналогичной формуле:

. (2)

Коэффициент корреляции – безразмерное число, лежащее в пределах от –1 до +1. При независимом варьировании признаков, когда связь между ними полностью отсутствует, . Чем сильнее сопряженность между признаками, тем выше значение коэффициента корреляции. Следовательно, приэтот показатель характеризует не только наличие, но и степень сопряженности между признаками. При положительной или прямой связи, когда большим значениям одного признака соответствуют большие же значения другого, коэффициент корреляции имеет положительный знак и находится в пределах от 0 до +1, при отрицательной или обратной связи, когда большим значениям одного признака соответствуют меньшие значения другого, коэффициент корреляции сопровождается отрицательным знаком и находится в пределах от 0 до –1.

Коэффициент корреляции нашел широкое применение в практике, но он не является универсальным показателем корреляционных связей, так как способен характеризовать только линейные связи, т.е. выражаемые уравнением линейной регрессии (см. тему 12). При наличии нелинейной зависимости между варьирующими признаками применяют другие показатели связи, рассмотренных ниже.

Вычисление коэффициента корреляции . Это вычисление производят разными способами и по-разному в зависимости от числа наблюдений (объема выборки). Рассмотрим отдельно специфику вычисления коэффициента корреляции при наличии малочисленных выборок и выборок большого объема.

Малые выборки . При наличии малочисленных выборок коэффициент корреляции вычисляют непосредственно по значениям сопряженных признаков, без предварительной группировки выборочных данных в вариационные ряды. Для этого служат приведенные выше формулы (1) и (2). Более удобными, особенно при наличии многозначных и дробных чисел, которыми выражаются отклонения вариант х i и y i от средних и, служат следующие рабочие формулы:

где ;

;

Здесь x i и y i – парные варианты сопряженных признаков x и y ; и –средние арифметические;– разность между парными вариантами сопряженных признаковx и y ; n – общее число парных наблюдений, или объем выборочной совокупности.

Эмпирический коэффициент корреляции, как и любой другой выборочный показатель, служит оценкой своего генерального параметра ρ и как величина случайная сопровождается ошибкой:

Отношение выборочного коэффициента корреляции к своей ошибке служит критерием для проверки нулевой гипотезы – предположения о том, что в генеральной совокупности этот параметр равен нулю, т.е. . Нулевую гипотезу отвергают на принятом уровне значимостиα , если

Значения критических точек t st для разных уровней значимости α и чисел степеней свободы приведены в табл.1 Приложений.

Установлено, что при обработке малочисленных выборок (особенно когда n < 30 ) расчет коэффициента корреляции по формулам (1) – (3) дает несколько заниженные оценки генерального параметра ρ , т.е. необходимо внести следующую поправку:

z-преобразование Фишера . Правильное применение коэффициента корреляции предполагает нормальное распределение двумерной совокупности сопряженных значений случайных величин x и y . Из математической статистики известно, что при наличии значительной корреляции между переменными величинами, т.е. когда R xy > 0,5 выборочное распределение коэффициента корреляции для большего числа малых выборок, взятых из нормально распределяющейся генеральной совокупности, значительно отклоняются от нормальной кривой.

Учитывая это обстоятельство, Р. Фишер нашел более точный способ оценки генерального параметра по значению выборочного коэффициента корреляции. Этот способ сводится к замене R xy преобразованной величиной z, которая связана с эмпирическим коэффициентом корреляции, следующим образом:

Распределение величины z является почти неизменным по форме, так как мало зависит от объема выборки и от значения коэффициента корреляции в генеральной совокупности, и приближается к нормальному распределению.

Критерием достоверности показателя z является следующее отношение:

Нулевая гипотеза отвергается на принятом уровне значимости α и числе степеней свободы . Значения критических точекt st приведены в табл.1 Приложений.

Применение z-преобразования позволяет с большей уверенностью оценивать статистическую значимость выборочного коэффициента корреляции, а также и разность между эмпирическими коэффициентами , когда в этом возникает необходимость.

Минимальный объем выборки для точной оценки коэффициента корреляции. Можно рассчитать объем выборки для заданного значения коэффициента корреляции, который был бы достаточен для опровержения нулевой гипотезы (если корреляция между признаками Y и X действительно существует). Для этого служит следующая формула:

где n – искомый объем выборки; t – величина, заданная по принятому уровню значимости (лучше для α = 1%); z – преобразованный эмпирический коэффициент корреляции.

Большие выборки . При наличии многочисленных исходных данных их приходится группировать в вариационные ряды и, построив корреляционную решетку, разность по ее клеткам (ячейкам) общие частоты сопряженных рядов. Корреляционная решетка образуется пересечением строк и столбцов, число которых равно числу групп или классов коррелируемых рядов. Классы располагаются в верхней строке и в первой (слева) столбце корреляционной таблицы, а общие частоты, обозначаемые символом f xy , – в клетках корреляционной решетки, составляющей основную часть корреляционной таблицы.

Классы, помещенные в верхней строке таблицы, обычно располагаются слева направо в возрастающем порядке, а в первом столбце таблицы – сверху вниз в убывающем порядке. При таком расположении классов вариационных рядов их общие частоты (при наличии положительной связи между признаками Y и X ) будут распределяться по клеткам решетки в виде эллипса по диагонали от нижнего левого угла к верхнему правому углу решетки или (при наличии отрицательной связи между признаками) в направлении от верхнего левого угла к нижнему правому углу решетки. Если же частоты f xy распределяются по клеткам корреляционной решетки более или менее равномерно, не образуя фигуры эллипса, это будет указывать на отсутствие корреляции между признаками.

Распределение частот f xy по клеткам корреляционной решетки дает лишь общее представление о наличии или отсутствии связи между признаками. Судить о тесноте или менее точно лишь по значению и знаку коэффициента корреляции . При вычислении коэффициента корреляции с предварительной группировки выборочных данных в интервальные вариационные ряды не следует брать слишком широкие классовые интервалы. Грубая группировка гораздо сильнее сказывается на значении коэффициента корреляции, чем это имеет место при вычислении средних величин и показателей вариации.

Напомним, что величина классового интервала определяется по формуле

где x max , x min – максимальная и минимальная варианты совокупности; К – число классов, на которые следует разбить вариацию признака. Опыт показал, что в области корреляционного анализа величину К можно поставить в зависимость от объема выборки примерно следующим образом (табл.1).

Таблица 1

Как и другие статистические характеристики, вычисляемые с предварительной группировкой исходных данных в вариационные ряды, коэффициент корреляции определяют разными способами, дающими совершенно идентичные результаты.

Способ произведений . Коэффициент корреляции можно вычислить используя основные формулы (1) или (2), внеся в них поправку на повторяемость вариант в димерной совокупности. При этом, упрощая символику, отклонения вариант от их средних обозначим через а , т.е. и. Тогда формула (2) с учетом повторяемости отклонений примет следующее выражение:

Достоверность этого показателя оценивается с помощью критерия Стьюдента, который представляет отношение выборочного коэффициента корреляции к своей ошибке, определяемой по формуле

Отсюда и если эта величина превышает стандартное значение критерия Стьюдентаt st для степени свободы и уровне значимостиα (см. Таблицу 2 Приложений), то нулевую гипотезу отвергают.

Способ условных средних . При вычислении коэффициента корреляции отклонения вариант (“классов”) можно находить не только от средних арифметических и, но и от условных средних А х и A y . При этом способе в числитель формулы (2) вносят поправку и формула приобретает следующий вид:

где f xy – частоты классов одного и другого рядов распределения; и, т.е. отклонения классов от условных средних, отнесенные к величине классовых интерваловλ ; n – общее число парных наблюдений, или объем выборки; и– условные моменты первого порядка, гдеf x – частоты ряда Х , а f y – частоты ряда Y ; s x и s y – средние квадратические отклонения рядов X и Y , вычисляемые по формуле .

Способ условных средних имеет преимущество перед способом произведений, так как позволяет избегать операции с дробными числами и придавать один и тот же (положительный) знак отклонениям a x и a y , что упрощает технику вычислительной работы, особенно при наличии многозначных чисел.

Оценка разности между коэффициентами корреляции . При сравнении коэффициентов корреляции двух независимых выборок нулевая гипотеза сводится к предположению о том, что в генеральной совокупности разница между этими показателями равна нулю. Иными словами, следует исходить из предположения, что разница, наблюдаемая между сравниваемыми эмпирическими коэффициентами корреляции, возникла случайно.

Для проверки нулевой гипотезы служит t-критерий Стьюдента, т.е. отношение разности между эмпирическими коэффициентами корреляции R 1 и R 2 к своей статистической ошибке, определяемой по формуле:

где s R1 и s R2 – ошибки сравниваемых коэффициентов корреляции.

Нулевая гипотеза опровергается при условии, что для принятого уровне значимостиα и числе степеней свободы .

Известно, что более точную оценку достоверности коэффициента корреляции получают при переводе R xy в число z . Не является исключением и оценка разности между выборочными коэффициентами корреляции R 1 и R 2 , особенно в тех случаях, когда последние вычислены на выборках сравнительно небольшого объема (n < 100 ) и по своему абсолютному значению значительно превышают 0,50.

Разность оценивают с помощью t-критерия Стьюдента, который строят по отношению этой разности к своей ошибке, вычисляемой по формуле

Нулевую гипотезу отвергают, если дляи принятого уровня значимостиα.

Корреляционное отношение . Для измерения нелинейной зависимости между переменными x и y используют показатель, который называют корреляционным отношением , который описывает связь двусторонне. Конструкция корреляционного отношения предполагает сопоставление двух видов вариации: изменчивости отдельных наблюдений по отношению к частным средним и вариации самих частных средних по сравнению с общей средней величиной. Чем меньшую часть составит первый компонент по отношению ко второму, тем теснота связи окажется большей. В пределе, когда никакой вариации отдельных значений признака возле частных средних не будет наблюдаться, теснота связи окажется предельно большой. Аналогичным образом, при отсутствии изменчивости частных средних теснота связи окажется минимальной. Так как это соотношение вариации может быть рассмотрено для каждого из двух признаков, получается два показателя тесноты связи – h yx и h xy . Корреляционное отношение является величиной относительной и может принимать значения от 0 до 1. При этом коэффициенты корреляционного отношения обычно не равны друг другу, т.е. . Равенство между этими показателями осуществимо только при строго линейной зависимости между признаками. Корреляционное отношение является универсальным показателем: оно позволяет характеризировать любую форму корреляционной связи – и линейную, и нелинейную.

Коэффициенты корреляционного отношения h yx и h xy определяют рассмотренными выше способами, т.е. способом произведений и способом условных средних.

В статье рассматриваются определения корреляции,корреляционного анализа и коэффициента корреляции. Дается определение корреляционной связи и ее основных характеристик.

• Корреляционно-регрессионный анализ в исследовании факторов рождаемости
• Оценка факторов рождаемости в Республике Башкортостан

Исследователей нередко интересует, как связаны между собой две или большее количество переменных в одной или нескольких изучаемых выборках. Например, такая связь может наблюдаться между погрешностью аппаратной обработки экспериментальных данных и величиной скачков сетевого напряжения. Другим примером может служить связь между пропускной способностью канала передачи данных и соотношением сигнал/шум.

В 1886 году английский естествоиспытатель Френсис Гальтон для обозначения характера подобного рода взаимодействий ввёл термин «корреляция». Позже его ученик Карл Пирсон разработал математическую формулу, позволяющую дать количественную оценку корреляционным связям признаков.

Зависимости между величинами (факторами, признаками) разделяют на два вида: функциональную и статистическую.

При функциональных зависимостях каждому значению одной переменной величины соответствует определенное значение другой переменной. Кроме того, функциональная связь двух факторов возможна только при условии, что вторая величина зависит только от первой и не зависит ни от каких других величин. В случае зависимости величины от множества факторов, функциональная связь возможна, если первая величина не зависит ни от каких других факторов, кроме входящих в указанное множество.

При статистической зависимости изменение одной из величин влечёт изменение распределения других величин, которые с определенными вероятностями принимают некоторые значения.

Значительно больший интерес представляет другой частный случай статистической зависимости, когда существует взаимосвязь значений одних случайных величин со средним значением других, при той особенности, что в каждом отдельном случае любая из взаимосвязанных величин может принимать различные значения.

Такого рода зависимость между переменными величинами называется корреляционной, или корреляцией.

Корреляционный анализ - метод, позволяющий обнаружить зависимость между несколькими случайными величинами.

Корреляционный анализ решает две основные задачи:

• Первая задача заключается в определении формы связи, т.е. в установлении математической формы, в которой выражается данная связь. Это очень важно, так как от правильного выбора формы связи зависит конечный результат изучения взаимосвязи между признаками.
• Вторая задача состоит в измерении тесноты, т.е. меры связи между признаками с целью установить степень влияния данного фактора на результат. Она решается математически путем определения параметров корреляционного уравнения.

Затем проводятся оценка и анализ полученных результатов при помощи специальных показателей корреляционного метода (коэффициентов детерминации, линейной и множественной корреляции и т.д.), а также проверка существенности связи между изучаемыми признаками.

Методами корреляционного анализа решаются следующие задачи:

1. Взаимосвязь. Есть ли взаимосвязь между параметрами?
2. Прогнозирование. Если известно поведение одного параметра, то можно предсказать поведение другого параметра, коррелирующего с первым.
3. Классификация и идентификация объектов. Корреляционный анализ помогает подобрать набор независимых признаков для классификации.

Корреляция - статистическая взаимосвязь двух или нескольких случайных величин (либо величин, которые можно с некоторой допустимой степенью точности считать таковыми). Суть ее заключается в том, что при изменении значения одной переменной происходит закономерное изменение (уменьшению или увеличению) другой переменной.

Для определения наличия взаимосвязи между двумя свойствами используется коэффициент корреляции.

Коэффициент корреляции р для генеральной совокупности, как правило, неизвестен, поэтому он оценивается по экспериментальным данным, представляющим собой выборку объема n пар значений (x i , y i), полученную при совместном измерении двух признаков Х и Y. Коэффициент корреляции, определяемый по выборочным данным, называется выборочным коэффициентом корреляции (или просто коэффициентом корреляции). Его принято обозначать символом r.

К основным свойствам коэффициента корреляции относятся:

1. Коэффициенты корреляции способны характеризовать только линейные связи, т.е. такие, которые выражаются уравнением линейной функции. При наличии нелинейной зависимости между варьирующими признаками следует использовать другие показатели связи.
2. Значения коэффициентов корреляции – это отвлеченные числа, лежащее в пределах от -1 до +1, т.е. -1 < r < 1.
3. При независимом варьировании признаков, когда связь между ними отсутствует, r = 0 .
4. При положительной, или прямой, связи, когда с увеличением значений одного признака возрастают значения другого, коэффициент корреляции приобретает положительный (+) знак и находится в пределах от 0 до +1, т.е. 0 < r < 1.
5. При отрицательной, или обратной, связи, когда с увеличением значений одного признака соответственно уменьшаются значения другого, коэффициент корреляции сопровождается отрицательным (–) знаком и находится в пределах от 0 до –1, т.е. -1 < r <0.
6. Чем сильнее связь между признаками, тем ближе величина коэффициента корреляции к ô1ô. Если r = ± 1, то корреляционная связь переходит в функциональную, т.е. каждому значению признака Х будет соответствовать одно или несколько строго определенных значений признака Y.
7. Только по величине коэффициентов корреляции нельзя судить о достоверности корреляционной связи между признаками. Этот параметр зависит от числа степеней свободы k = n –2, где: n – число коррелируемых пар показателей Х и Y. Чем больше n, тем выше достоверность связи при одном и том же значении коэффициента корреляции.

Рассчитывается коэффициент корреляции по следующей формуле:

где x - значение факторного признака; y - значение результативного признака; n - число пар данных.

Корреляция изучается на основании экспериментальных данных, представляющих собой измеренные значения x i ,y i двух признаков x,y. Если экспериментальных данных сравнительно немного, то двумерное эмпирическое распределение представляется в виде двойного ряда значений x i ,y i . При этом корреляционную зависимость между признаками можно описывать разными способами. Соответствие между аргументом и функцией может быть задано таблицей, формулой, графиком и т. д.

Когда исследуется корреляция между количественными признаками, значения которых можно точно измерить в единицах метрических шкал, то очень часто принимается модель двумерной нормально распределенной генеральной совокупности. Такая модель отображает зависимость между переменными величинами x и y графически в виде геометрического места точек в системе прямоугольных координат. Эта графическая зависимость называется диаграммой рассеивания или корреляционным полем.

Данная модель двумерного нормального распределения (корреляционное поле) позволяет дать наглядную графическую интерпретацию коэффициента корреляции, т.к. распределение в совокупности зависит от пяти параметров:

• математических ожиданий E[x], E[y] величин x,y;
• стандартных отклонений px, py случайных величин x,y ;
• коэффициента корреляции p , который является мерой связи между случайными величинами, х и у. Приведем примеры корреляционных полей.

Если р = 0, то значения x i ,y i , полученные из двумерной нормальной совокупности, располагаются на графике в пределах области, ограниченной окружностью. В этом случае между случайными величинами x и y отсутствует корреляция, и они называются некоррелированными. Для двумерного нормального распределения некоррелированность означает одновременно и независимость случайных величин x и y.

Если р = 1 или р = -1, то говорят о полной корреляции, то есть между случайными величинами x и y существует линейная функциональная зависимость.

При р = 1 значения x i ,y i определяют точки, лежащие на прямой линии, имеющей положительный наклон (с увеличением x i значения y i также увеличиваются).

В промежуточных случаях, когда -1< p <1, определяемые значениями x i ,y i точки попадают в область, ограниченную некоторым эллипсом, причём при p>0 имеет место положительная корреляция (с увеличением x значения y в целом имеют тенденцию к возрастанию), при p<0 корреляция отрицательная. Чем ближе p к ±1, тем уже эллипс и тем теснее точки, определяемые экспериментальными значениями, группируются около прямой линии.

Здесь же следует обратить внимание на то, что линия, вдоль которой группируются точки, может быть не только прямой, а иметь любую другую форму: парабола, гипербола и т. д. В этих случаях рассматривают нелинейную корреляцию.

Корреляционную зависимость между признаками можно описывать разными способами, в частности, любая форма связи может быть выражена уравнением общего вида y=f(x), где признак y – зависимая переменная, или функция от независимой переменной x, называемой аргументом.

Таким образом, визуальный анализ корреляционного поля помогает определить не только наличие статистической связи (линейной или нелинейной) между исследуемыми признаками, но и ее тесноту и форму.

При изучении корреляционной связи важным направлением анализа является оценка степени тесноты связи. Понятие степени тесноты связи между двумя признаками возникает вследствие того, что в действительности на изменение результативного признака влияет множество факторов. При этом влияние одного из факторов может выражаться более заметно и четко, чем влияние других факторов. С изменением условий роль решающего фактора может перейти к другому признаку.

При статистическом изучении взаимосвязей, как правило, учитываются только основные факторы. Также с учетом степени тесноты связи оценивается необходимость более подробного изучения конкретной данной связи и значение практического ее использования.

В общем, знание количественной оценки тесноты корреляционной связи позволяет решить следующую группу вопросов:

• необходимость глубокого изучения данной связи между признаками и целесообразность ее практического применения;
• степень различий в проявлении связи в конкретных условиях (сопоставление оценки тесноты связи для различных условий);
• выявление главных и второстепенных факторов в данных конкретных условиях путём последовательного рассмотрения и сравнения признака с различными факторами.

Показатели тесноты связи должны удовлетворять ряду основных требований:

• величина показателя тесноты связи должна быть равна или близка к нулю, если связь между изучаемыми признаками (процессами, явлениями) отсутствует;
• при наличии между изучаемыми признаками функциональной связи величина показателя тесноты связи должна быть равна единице;
• при наличии между признаками корреляционной связи абсолютное значение показателя тесноты связи должно выражаться правильной дробью, которая по величине тем больше, чем теснее связь между изучаемыми признаками (стремится к единице).

Корреляционная зависимость определяется различными параметрами, среди которых наибольшее распространение получили парные показатели, характеризующие взаимосвязь двух случайных величин: коэффициент ковариации (корреляционный момент) и линейный коэффициент корреляции (коэффициент корреляции Пирсона).

Сила связи определяется абсолютным значением показателя тесноты связи и не зависит от направления связи.

В зависимости от абсолютного значения коэффициента корреляции p корреляционные связи между признаками по силе делятся следующим образом:

• сильная, или тесная (при p >0,70);
• средняя (при 0,50< p <0,69);
• умеренная (при 0,30< p <0,49);
• слабая (при 0,20< p <0,29);
• очень слабая (при p <0,19).

По форме корреляционная связь может быть линейной или нелинейной.

Линейной может быть, например, связь между уровнем подготовки студента и оценками итоговой аттестации. Пример нелинейной связи - уровень мотивации и эффективность выполнения поставленной задачи. (При повышении мотивации эффективность выполнения задачи сначала возрастает, затем, при определённом уровне мотивации, достигается максимальная эффективность; но дальнейшему повышению мотивации сопутствует уже снижение эффективности.)

По направлению корреляционная связь может быть положительной (прямой) и отрицательной (обратной).

При положительной линейной корреляции более высоким значениям одного признака соответствуют более высокие значения другого, а более низким значениям одного признака - более низкие значения другого. При отрицательной корреляции соотношения обратные.

Знак коэффициента корреляции зависит от направления корреляционной связи: при положительной корреляции коэффициент корреляции имеет положительный знак, при отрицательной корреляции - отрицательный знак.

Список литературы

1. Аблеева, А. М. Формирование фонда оценочных средств в условиях ФГОС [Текст] / А. М. Аблеева, Г. А. Салимова // Актуальные проблемы преподавания социально-гуманитарных, естественно - научных и технических дисциплин в условиях модернизации высшей школы: материалы международной научно-методической конференции, 4-5 апреля 2014 г. / Башкирский ГАУ, Факультет информационных технологий и управления. - Уфа, 2014. - С. 11-14.
2. Ганиева, А.М. Статистический анализ занятости и безработицы [Текст] / А.М. Ганиева, Т.Н. Лубова // Актуальные вопросы экономико-статистического исследования и информационных технологий: сб. науч. ст.: посвящается к 40-летию создания кафедры "Статистики и информационных систем в экономике" / Башкирский ГАУ. - Уфа, 2011. - С. 315-316.
3. Исмагилов, Р. Р. Творческая группа - эффективная форма организации научных исследований в высшей школе [Текст] / Р. Р. Исмагилов, М. Х. Уразлин, Д. Р. Исламгулов // Научно-технический и научно-образовательный комплексы региона: проблемы и перспективы развития: материалы научно-практической конференции / Академия наук РБ, УГАТУ. - Уфа, 1999. - С. 105-106.
4. Исламгулов, Д.Р. Компетентностный подход в обучении: оценка качества образования [Текст] / Д.Р. Исламгулов, Т.Н. Лубова, И.Р. Исламгулова // Современный научный вестник. – 2015. – Т. 7. - № 1. – С. 62-69.
5. Исламгулов, Д. Р. Научно-исследовательская работа студентов - важнейший элемент подготовки специалистов в аграрном вузе [Текст] / Д. Р. Исламгулов // Проблемы практической подготовки студентов в вузе на современном этапе и пути их решения: сб. материалов науч.-метод. конф., 24 апреля 2007 года / Башкирский ГАУ. - Уфа, 2007. - С. 20-22.
6. Лубова, Т.Н. Основа реализации федерального государственного образовательного стандарта – компетентностный подход [Текст] / Т.Н. Лубова, Д.Р. Исламгулов, И.Р. Исламгулова// БЪДЕЩИТЕ ИЗСЛЕДОВАНИЯ – 2016: Материали за XII Международна научна практична конференция, 15-22 февруари 2016. – София: Бял ГРАД-БГ ООД, 2016. – Том 4 Педагогически науки. – C. 80-85.
7. Лубова, Т.Н. Новые образовательные стандарты: особенности реализации [Текст] / Т.Н. Лубова, Д.Р. Исламгулов // Современный научный вестник. – 2015. – Т. 7. - № 1. – С. 79-84.
8. Лубова, Т.Н. Организация самостоятельной работы обучающихся [Текст] / Т.Н. Лубова, Д.Р. Исламгулов // Реализация образовательных программ высшего образования в рамках ФГОС ВО: материалы Всероссийской научно-методической конференции в рамках выездного совещания НМС по природообустройству и водопользованию Федерального УМО в системе ВО. / Башкирский ГАУ. - Уфа, 2016. - С. 214-219.
9. Лубова, Т.Н. Основа реализации федерального государственного образовательного стандарта – компетентностный подход [Текст] / Т.Н. Лубова, Д.Р. Исламгулов, И.Р. Исламгулова // Современный научный вестник. – 2015. – Т. 7. - № 1. – С. 85-93.
10. Саубанова, Л.М. Уровень демографической нагрузки [Текст] / Л.М. Саубанова, Т.Н. Лубова // Актуальные вопросы экономико-статистического исследования и информационных технологий: сб. науч. ст.: посвящается к 40-летию создания кафедры "Статистики и информационных систем в экономике" / Башкирский ГАУ. - Уфа, 2011. - С. 321-322.
11. Фахруллина, А.Р. Статистический анализ инфляции в России [Текст] / А.Р. Фахруллина, Т.Н. Лубова // Актуальные вопросы экономико-статистического исследования и информационных технологий: сб. науч. ст.: посвящается к 40-летию создания кафедры "Статистики и информационных систем в экономике" / Башкирский ГАУ. - Уфа, 2011. - С. 323-324.
12. Фархутдинова, А.Т. Рынок труда в Республике Башкортостан в 2012 году [Электронный ресурс] / А.Т. Фархутдинова, Т.Н. Лубова // Студенческий научный форум. Материалы V Международной студенческой электронной научной конференции: электронная научная конференция (электронный сборник). Российская академия естествознания. 2013.